Tema 11 · 4.º ESO

Iniciación a la derivada

Consultar el formulario visual · Ir a la práctica

11.1 El cambio en situaciones cotidianas

Una magnitud depende de otra

La posición de un móvil depende del tiempo, el coste de una compra depende de la cantidad y una temperatura puede cambiar a lo largo del día. Identificar qué variable depende de cuál y sus unidades ayuda a interpretar las operaciones. Si $s(t)$ está en metros y $t$ en segundos, $s(3)$ es una posición, no una velocidad.

Variación y ritmo de cambio

Entre dos entradas $a<b$ , la variación absoluta es $\Delta f=f(b)-f(a)$ ; puede ser positiva, negativa o cero. El tiempo o incremento de entrada es $\Delta x=b-a$ . Comparar variaciones exige tener en cuenta cuánto ha cambiado la entrada.

Media e instante

La velocidad media relaciona desplazamiento y tiempo transcurrido. La instantánea describe el movimiento en un instante: no se calcula dividiendo por un tiempo igual a cero. La rapidez es el módulo de la velocidad instantánea; una velocidad negativa indica sentido de movimiento respecto del eje elegido.

11.2 Tasa de variación media

De la variación al cociente

Para una función definida en $a$ y $b$ , con $a<b$ , la tasa de variación media es $\operatorname{TVM}_{[a,b]}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$ Calcula primero los dos valores, resta en el mismo orden y divide por la variación de entrada. Sus unidades son unidades de salida por unidad de entrada.

La pendiente de una secante

La recta que pasa por $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$ es una secante y su pendiente es la TVM. Una pendiente positiva une un punto final más alto; una negativa, uno más bajo; cero significa alturas iguales. Una TVM positiva entre dos extremos no asegura que la función crezca en todo el intervalo.

Tablas y gráficas

Una tabla proporciona TVM entre sus registros, pero no determina por sí sola lo ocurrido entre ellos. En una gráfica se leen los dos puntos antes de calcular; no se divide la altura entre el tiempo salvo que eso coincida realmente con el cociente de incrementos.

11.3 De la secante a la tangente

Acercar dos puntos

Fijamos $A=(a,f(a))$ y $B=(a+h,f(a+h))$ , con $h\ne0$ . Su secante tiene pendiente $[f(a+h)-f(a)]/h$ . Al acercar B por ambos lados, cuando sea posible, buscamos una pendiente límite finita común.

Qué caracteriza una tangente

La tangente describe la dirección local. Puede atravesar la curva: $y=0$ es tangente a $y=x^3$ en el origen. No se define contando contactos.

Exploración guiada

Representa $f(x)=x^2$ y fija A en $(1,1)$ . Acerca B por la curva sin hacerlo coincidir con A. Compara la secante con $y=2x-1$ ; la expresión $2+h$ justifica la tendencia observada.

11.4 Derivada de una función en un punto

Definición y notación

En un punto interior $a$ del dominio, si las pendientes se aproximan a un valor común finito, definimos $f^{\prime}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$ Se lee derivada de f en a. Es la tasa instantánea de cambio y la pendiente de la tangente en $(a,f(a))$ . El cociente se calcula con $h\ne0$ ; el límite describe una tendencia.

Signo, valor y unidades

Una derivada positiva indica pendiente local ascendente; una negativa, descendente; cero, tangente horizontal si la derivada existe. Si $s$ se mide en metros y $t$ en segundos, $s^{\prime}(a)$ se mide en m/s. No se afirma que la función sea positiva por tener derivada positiva.

Aproximación y justificación

Una tabla sugiere la derivada, pero no demuestra su existencia. Por definición trabajamos solo rectas y parábolas sencillas.

11.5 La función derivada

De un valor a una nueva función

Calcular $f^{\prime}(a)$ en distintos puntos produce una función, $f^{\prime}(x)$ , allí donde la derivada existe. Primero se obtiene la regla general y después se evalúa: si $f^{\prime}(x)=2x$ , entonces $f^{\prime}(3)=6$ . No confundir función derivada con un único número.

Leer las dos gráficas

La gráfica de $f$ muestra alturas; la de $f^{\prime}$ muestra pendientes de $f$ . Donde la parábola $x^2$ desciende, $2x$ es negativa; en su vértice vale cero; donde asciende es positiva. La derivada de una recta es una función constante, y su gráfica es horizontal.

Lectura en sentido inverso

Si sabemos que $f^{\prime}(x)=2$ en un intervalo, sabemos que f tiene pendiente constante dos en él, pero no su altura inicial. Las rectas $2x+1$ y $2x-4$ tienen la misma derivada: conocer ritmos no determina por sí solo todos los valores originales.

11.6 Reglas elementales de derivación

Constante, identidad y potencias naturales

La derivada de una constante es cero y la de $x$ es uno. Para una potencia de exponente natural $n\ge1$ , $(x^n)'=nx^{n-1}.$ Multiplica por el exponente y réstale uno. $x^0=1$ es constante y se deriva como tal. No se pide demostrar la regla general.

Constante multiplicativa, sumas y restas

Para funciones derivables, $(cf)'=cf'$ y $(f\pm g)'=f'\pm g^{\prime}$ . Conserva los coeficientes y signos de cada término. En polinomios, deriva término a término.

Un procedimiento breve y revisable

Identifica los términos, deriva cada uno, simplifica y, si se pide una pendiente en un punto, sustituye después. Escribe el nombre de la función derivada; una respuesta numérica no sustituye a $f^{\prime}(x)$ cuando se pide la función completa.

11.7 Ecuación de la recta tangente

Dos datos necesarios

Para hallar una tangente se necesitan el punto $(a,f(a))$ y la pendiente $m=f^{\prime}(a)$ . La ecuación punto-pendiente es $y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a).$ Calcula ambos datos por separado; no uses $(a,f^{\prime}(a))$ como punto de la curva.

Tangentes horizontales y a una recta

Si $f^{\prime}(a)=0$ , queda $y=f(a)$ , una recta horizontal. Si la función original ya es una recta, su tangente coincide con ella. No hace falta que el punto esté en el eje de abscisas para que la tangente sea horizontal.

Comprobación gráfica

Representa curva y tangente en los mismos ejes: comparten punto y dirección local. Comprueba también punto y pendiente mediante sustitución.

11.8 Crecimiento, decrecimiento y extremos

El signo de la derivada

En un intervalo donde una función es derivable, $f^{\prime}>0$ implica crecimiento y $f^{\prime}<0$ decrecimiento. Para polinomios, localizamos los ceros de $f^{\prime}$ y estudiamos su signo en los intervalos separados por ellos. Usamos una sola recta con todas las raíces y sustituimos un valor de prueba en la expresión original de la derivada; así conservamos su coeficiente principal, como acordamos en U4.

$f^{\prime}(x)=2x-4$

\searrow

mínimo

\nearrow

Máximos, mínimos y tangentes horizontales

Un cambio de signo de $+$ a $-$ indica máximo relativo; de $-$ a $+$ , mínimo relativo. La abscisa se obtiene con la derivada, pero la altura del extremo se calcula en f. En un punto interior derivable, un extremo obliga a derivada cero; el recíproco no es cierto.

Para $f(x)=x^3$ , $f^{\prime}(x)=3x^2$ se anula en cero, pero es positiva a ambos lados: no cambia el sentido de crecimiento y no hay extremo. En un intervalo cerrado, si se buscan extremos absolutos, se comparan también los valores en sus extremos.

11.9 Continuidad y derivabilidad: una primera mirada

Una implicación en un punto

Si una función es derivable en un punto interior, entonces es continua en él. Una discontinuidad impide tener derivada en ese punto. Sin embargo, ser continua no basta: una curva puede no tener salto y presentar una esquina.

La esquina de valor absoluto

Para $f(x)=|x|$ , en cero la función es continua. El cociente $[|h|-0]/h$ vale uno para $h>0$ y menos uno para $h<0$ . Como las pendientes de ambos lados no coinciden, no existe una única derivada finita en cero.

Reconocer sin generalizar en exceso

En una recta o un polinomio, los puntos interiores son derivables. En una gráfica con esquina hay que comparar las direcciones laterales. Una tangente horizontal puede existir perfectamente; no debe confundirse pendiente cero con derivada inexistente. La imagen orienta, mientras que el modelo permite justificar.

11.11 Problemas integrados e interpretación

Posición y velocidad

Si $s(t)$ es posición, su derivada es velocidad. Para $s(t)=2t^2+3t$ metros, $s^{\prime}(t)=4t+3$ m/s y $s^{\prime}(4)=19$ m/s. La posición a los cuatro segundos es $s(4)=44$ metros. Una derivada de posición no es una distancia recorrida.

Población y temperatura

Un modelo polinómico puede describir un tramo temporal de un fenómeno. $P^{\prime}(t)$ indica bacterias por hora; $T'(t)$ , grados por unidad de tiempo. Hay que respetar el intervalo donde se plantea el modelo: no prolongarlo sin justificación ni interpretar una población negativa.

Un máximo con un modelo cuadrático

Con veinte metros de valla para tres lados de un rectángulo junto a un muro, sean x la anchura y $20-2x$ el largo. El dominio físico es $0<x<10$ y $A(x)=x(20-2x)=20x-2x^2,\qquad A^{\prime}(x)=20-4x.$ La derivada se anula en cinco, es positiva antes y negativa después: área máxima $A(5)=50$ m $^2$ , con anchura cinco y largo diez. Hemos desarrollado el producto como polinomio antes de derivar.

Revisar errores y comunicar

En parejas, una persona construye el modelo y otra verifica dominio, derivada, signo y unidades; después intercambian roles. Cada una redacta individualmente qué error detectó y cómo lo corrigió. No basta resolver una ecuación: la respuesta debe contestar la pregunta del contexto.

Uso de la calculadora

Un cociente que cualquier modelo puede calcular

En las CASIO fx-991SP CW y fx-570SP X II del proyecto, usa la aplicación de cálculo ordinario para evaluar $\frac{f(a+h)-f(a)}h,\qquad h\ne0.$ Escribe todos los paréntesis, calcula un cociente cada vez y repite con incrementos positivos y negativos. Este procedimiento no depende de disponer de un comando automático de derivación. Una salida decimal es una aproximación, no la expresión algebraica de $f^{\prime}(x)$ .

Incrementos y redondeo

Empieza por $0{,}1$ y $0{,}01$ . No supone una mejora automática elegir el incremento más pequeño posible: la resta de valores muy próximos y la precisión finita pueden amplificar el error de redondeo. La expresión simplificada $4+h$ explica el límite mejor que una lista de ceros redondeados.

Explora con GeoGebra

Representa una parábola, un punto A sobre ella y otro B con abscisa diferente. Construye la secante y compara su pendiente al acercar B; añade la tangente en A. Guarda una tabla de tres o más valores y una explicación de la tendencia. Comprueba un punto con cálculo exacto. No basta entregar una captura sin interpretación.

Abrir GeoGebra Clásico

Práctica con comprobación

11.1 El cambio en situaciones cotidianas

U11-01

La temperatura baja de $25$ a $19\,^{\circ}\mathrm C$ en tres horas. Calcula variación y ritmo medio.

U11-02

Un móvil parte de la posición cero, llega a diez metros y vuelve al origen en cuatro segundos. Calcula desplazamiento y velocidad media; distingue distancia recorrida.

U11-03

En un cultivo, $P(2)=140$ y $P(5)=200$ bacterias. Calcula aumento y ritmo medio si el tiempo se mide en horas.

11.2 Tasa de variación media

U11-04

Halla la TVM de $f(x)=x^2+1$ entre $1$ y $3$ .

U11-05

Calcula la TVM de $f(x)=3x-2$ entre $-1$ y $2$ . Explica por qué no depende del intervalo elegido.

U11-06

Para $s(t)=t^2-4t$ metros, calcula la velocidad media entre $1$ y $3$ segundos. ¿Demuestra que estuvo parado todo el tiempo?

11.3 De la secante a la tangente

U11-07

Completa las pendientes de secantes de $y=x^2$ en $a=2$ para $h=0{,}1;0{,}01;-0{,}1;-0{,}01$ .

U11-08

¿Por qué no se toma directamente $h=0$ en la fórmula de la secante?

U11-09

¿Puede una tangente atravesar la curva? Usa $y=x^3$ y $y=0$ en el origen.

11.4 Derivada de una función en un punto

U11-10

Calcula por definición $f^{\prime}(2)$ para $f(x)=x^2$ .

U11-11

Calcula por definición $f^{\prime}(3)$ para $f(x)=2x+5$ .

U11-12

Si $P(4)=350$ bacterias y $P^{\prime}(4)=20$ bacterias/h, interpreta ambos datos y explica si se conoce exactamente $P(5)$ .

11.5 La función derivada

U11-13

Para $f(x)=x^2$ , escribe $f^{\prime}(x)$ y calcula $f^{\prime}(-2)$ , $f^{\prime}(0)$ y $f^{\prime}(3)$ .

U11-14

Una recta tiene ecuación $f(x)=-2x+7$ . Describe la gráfica de su derivada.

U11-15

Dos funciones tienen derivada constante tres en un intervalo. ¿Deben tener los mismos valores? Da dos ejemplos.

11.6 Reglas elementales de derivación

U11-16

Deriva $f(x)=5x^4-3x^2+7$ y calcula $f^{\prime}(1)$ .

U11-17

Deriva $g(x)=-2x^3+4x-9$ y calcula $g^{\prime}(0)$ .

U11-18

Un alumno deriva $3x^2-5$ y obtiene $2x-5$ . Detecta y corrige sus dos errores.

11.7 Ecuación de la recta tangente

U11-19

Obtén la tangente a $f(x)=x^2$ en $x=1$ .

U11-20

Obtén la tangente a $f(x)=x^2-4x+1$ en $x=2$ .

U11-21

Halla la tangente a $f(x)=3x-2$ en $x=4$ .

11.8 Crecimiento, decrecimiento y extremos

U11-22

Estudia crecimiento y extremos de $f(x)=-x^2+4x$ . Usa una recta y sustituye en $f^{\prime}(x)$ sin perder el signo inicial.

U11-23

¿Es el origen un máximo o un mínimo de $f(x)=x^3$ ? Razona usando la derivada.

U11-24

Halla mínimo y máximo absolutos de $f(x)=x^2$ en $[-2,3]$ .

11.9 Continuidad y derivabilidad: una primera mirada

U11-25

¿Es $f(x)=|x-2|$ continua y derivable en $x=2$ ?

U11-26

¿Puede una función discontinua en $a$ ser derivable en ese mismo punto?

U11-27

Compara $x^2$ y $|x|$ en el origen: valor, continuidad y derivada.

11.10 Calculadora y herramientas digitales

U11-28

Para $f(x)=x^2$ en $a=2$ , compara las salidas $4{,}01$ y $3{,}99$ obtenidas con incrementos opuestos de módulo $0{,}01$ . ¿Qué sugieren?

U11-29

Un estudiante afirma que obtener $2{,}0000$ en pantalla demuestra que el cociente es exactamente dos. ¿Es correcto?

U11-30

Diseña una tabla para comprobar la pendiente de $x^2$ en $a=1$ usando $h=0{,}1;0{,}01;-0{,}01$ .

Práctica global

U11-G01

Halla variación y TVM de $f(x)=x^2+1$ entre $1$ y $3$ . Interpreta la pendiente.

U11-G02

Calcula por definición la derivada de $x^2+1$ en $x=1$ .

U11-G03

Deriva $f(x)=2x^3-5x^2+4x-7$ y calcula $f^{\prime}(2)$ .

U11-G04

Halla la tangente a $f(x)=x^2+1$ en $x=2$ .

U11-G05

Estudia monotonía y extremo de $f(x)=x^2-4x+1$ .

U11-G06

Compara continuidad y derivabilidad de $x^2$ , $x^3$ y $|x|$ en cero.

U11-G07

Para $s(t)=t^2-4t$ metros, compara la velocidad media entre uno y tres segundos con la velocidad en tres.

U11-G08

Entre los rectángulos de perímetro cuarenta metros, halla el de mayor área.

Razonamiento matemático

11.11 Problemas integrados e interpretación

U11-31

Para $s(t)=2t^2+3t$ metros, con $t\ge0$ en segundos, calcula posición y velocidad a los cuatro segundos.

U11-32

Un modelo $P(t)=100+20t-t^2$ , $0\le t\le8$ horas, describe bacterias. Calcula $P(4)$ y $P^{\prime}(4)$ e interpreta.

U11-33

Con veinticuatro metros de valla para tres lados junto a un muro, halla las dimensiones de mayor área. Desarrolla el polinomio antes de derivar.

Formulario visual

Variaciones y pendientes

Variación absoluta: $\Delta f=f(b)-f(a)$ . Tasa media, con $a<b$ : $\operatorname{TVM}_{[a,b]}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$ Es la pendiente de una secante. Si f es posición en metros y la entrada es tiempo en segundos, la tasa se expresa en m/s.

Derivada en un punto y función derivada

En un punto interior a, cuando el límite existe y es finito, $f^{\prime}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h.$ Usar h no nulo durante la simplificación. La derivada es pendiente de tangente y tasa instantánea. $f(a)$ es el valor de la magnitud; $f^{\prime}(a)$ , su ritmo en ese instante. La función $f^{\prime}(x)$ reúne las pendientes en los puntos donde existen.

Reglas elementales

$(c)'=0,\quad (x)'=1,\quad(x^n)'=nx^{n-1}\quad(n\ge1\text{ natural}),$ $(cf)'=cf^{\prime},\qquad(f\pm g)'=f^{\prime}\pm g^{\prime}.$ En un polinomio, conservar signos y coeficientes. Obtener primero la función derivada y evaluar después si se pide un punto.

Tangente, signo y extremos

Tangente en $(a,f(a))$ : $y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$ . Si la pendiente es cero, $y=f(a)$ . En intervalos derivables, signo positivo implica crecimiento y negativo decrecimiento. Cambio de más a menos: máximo; de menos a más: mínimo. Una derivada cero no basta para asegurar extremo. Para extremos absolutos en un intervalo cerrado, comparar candidatos y fronteras.

Continuidad y uso de herramientas

Derivable en un punto implica continua allí; el recíproco es falso. $|x|$ es continua, pero tiene esquina en cero. Una calculadora aproxima cocientes: no demuestra un límite por mostrar un decimal. Contrastar con la expresión exacta y las pendientes por ambos lados.

Consultar esquemas del tema

Apuntes en PDF

Abrir apuntes del alumnado en PDF