Tema 8 · 4.º ESO

Límites y continuidad

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8.1 Idea intuitiva de límite en un punto

Acercarse sin evaluar necesariamente en el punto

$\lim_{x\to a}f(x)=L$ significa que las salidas se aproximan a $L$ cuando las entradas se aproximan a $a$ , considerando entradas próximas distintas de $a$ en el dominio. El límite describe una tendencia, no la sustitución aislada $f(a)$ . En esta unidad se trabaja intuitivamente, sin definición formal con $\varepsilon$ y $\delta$ .

Tablas y gráficas

Para explorar, usa entradas próximas por ambos lados. Un conjunto finito de datos orienta, pero no demuestra el límite por sí solo. En una gráfica observa la altura hacia la que se acercan las ramas, aunque en la abscisa exacta haya hueco o un punto lleno a otra altura.

$x$	$0{,}9$	$0{,}99$	$1{,}01$	$1{,}1$
$f(x)$	$1{,}9$	$1{,}99$	$2{,}01$	$2{,}1$

8.2 Límites laterales

Dos direcciones de aproximación

$\lim_{x\to a^-}f(x)$ estudia entradas menores que $a$ ; $\lim_{x\to a^+}f(x)$ , mayores. El límite bilateral finito existe si ambos laterales existen y coinciden en el mismo número. Si son distintos, no hay un único límite bilateral.

Elegir la rama cercana

En una función a trozos, el signo $\le$ o $\ge$ en el punto decide el valor exacto, pero la rama que actúa en un intervalo lateral decide el límite de ese lado.

Dominios con extremos

En el extremo de un intervalo puede haber una sola dirección de aproximación dentro del dominio. Para la continuidad en intervalos cerrados se utilizará ese límite lateral; no se inventa una rama exterior donde la función no existe.

8.3 Límites infinitos en un punto

Crecer o decrecer sin cota

$\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ expresa que las salidas superan cualquier cota positiva al acercarse suficientemente; $-\infty$ expresa que bajan de cualquier cota negativa. No significa que $f(a)$ sea un número infinito. Cuando los dos lados tienden al mismo infinito se usa esa notación bilateral extendida; no es un límite real finito.

Signos y asíntotas verticales

Una recta $x=a$ es asíntota vertical si al menos uno de los límites laterales es infinito. Con $1/(x-2)$ , por la izquierda el denominador es negativo y próximo a cero: tendencia $-\infty$ ; por la derecha es positivo: $+\infty$ . No hay límite bilateral común, pero sí asíntota vertical.

Un cero del denominador no garantiza una asíntota: puede haber un factor común y un hueco. Simplifica con las restricciones originales y estudia la tendencia.

8.4 Límites en el infinito

Alejarse hacia cada extremo

En $x\to+\infty$ , la entrada crece sin cota; en $x\to-\infty$ , decrece sin cota. Estos límites no describen una entrada próxima a un número fijo. Se estudian por separado porque pueden diferir.

Asíntotas horizontales

Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$ o $\lim_{x\to-\infty}f(x)=L$ , con $L$ finito, $y=L$ es asíntota horizontal en ese extremo. No tiene por qué ser una cota y la gráfica puede cruzarla: por ejemplo $x/(x^2+1)$ tiende a cero y pasa por $(0,0)$ .

Saturación e interpretación

$P(t)=1000t/(t+5)$ , $t\ge0$ , tiende a $1000$ cuando $t$ crece. Su distancia a $1000$ es $5000/(t+5)>0$ , por lo que no alcanza ese valor para un tiempo finito del dominio. Esta última afirmación se justifica con la expresión; no se deduce solo de tener asíntota.

8.5 Propiedades y cálculo directo

Reglas con límites finitos

Si $f\to L$ y $g\to M$ finitos, entonces $f+g\to L+M$ , $f-g\to L-M$ y $fg\to LM$ . En el cociente se requiere $M\ne0$ ; entonces $f/g\to L/M$ . Para potencias y raíces se aplican las propiedades de las expresiones continuas en su dominio, con cuidado en los extremos de raíces pares.

Sustituir y diagnosticar

Los polinomios son continuos; las racionales lo son donde el denominador no se anula. Las exponenciales, logaritmos y trigonométricas se sustituyen en puntos de continuidad de sus dominios. Si la sustitución produce $0/0$ , la regla de cociente no da resultado: hay que transformar y estudiar. Un cociente con numerador no nulo y denominador que tiende a cero requiere estudiar signos laterales. No se escribe automáticamente un mismo infinito para ambos lados.

El infinito no es un número real

Las reglas de tendencias con infinito tienen condiciones; expresiones como $\infty-\infty$ o $\infty/\infty$ no se calculan restando o cancelando símbolos. Diferentes funciones con esas mismas formas pueden producir límites distintos.

8.6 Indeterminación cero entre cero

Factorizar y simplificar

$0/0$ no es un resultado ni implica que no exista el límite. En un cociente de polinomios, factoriza numerador y denominador y cancela factores comunes para entradas próximas pero distintas del punto problemático.

Si el factor no se ve por identidades, Ruffini ayuda. Para $x^3-3x^2+2$ , dividir entre $x-1$ da $x^2-2x-2$ con resto cero: por tanto el límite del cociente en $1$ es $-3$ .

Raíces: usar el conjugado

Comprobar la transformación

Mantén las restricciones del dominio original y comprueba que los factores cancelados son no nulos en el entorno perforado utilizado. No se puede separar una diferencia de raíces como raíz de la diferencia.

8.7 Indeterminaciones en el infinito

Cocientes de polinomios

Para $x\to\pm\infty$ , divide numerador y denominador por la mayor potencia de $x$ que aparezca. Los términos $1/x^m$ , $m>0$ , tienden a cero. Si los grados son iguales, el límite es el cociente de coeficientes principales. Si el numerador tiene menor grado, es cero. Si tiene mayor grado, estudia el término dominante y su signo en cada extremo: no basta escribir infinito sin signo.

Diferencias que exigen transformación

En $x/(x-1)-1$ , reducir a un cociente da $1/(x-1)$ , cuyo límite es cero. La sustitución de tendencias en otras diferencias puede producir $\infty-\infty$ y no determina el resultado.

Reconocer otras formas

$0\cdot\infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ e $\infty^0$ también son formas indeterminadas en el contexto de límites. Se nombran para reconocer que no basta operar símbolos; sus técnicas específicas quedan fuera de esta unidad. Tampoco se usa L’Hôpital.

8.8 Continuidad

Tres condiciones en un punto

Una función es continua en un punto interior $a$ si $f(a)$ existe, el límite en $a$ existe y es finito, y coincide con $f(a)$ . No basta verificar solo una o dos condiciones. En un intervalo abierto se exige continuidad en cada punto; en $[a,b]$ , además, continuidad por la derecha en $a$ y por la izquierda en $b$ . Las funciones elementales son continuas en sus dominios, con el sentido lateral adecuado en extremos de raíces pares. En racionales, examina aparte los puntos excluidos de la expresión original.

Discontinuidades

Evitable: el límite finito existe, pero falta el valor o no coincide; se repara definiendo ese valor igual al límite. De salto finito: laterales finitos distintos. Infinita: al menos un lateral infinito. No se afirma que estos tipos agoten todas las posibilidades, pero son los que se trabajan aquí.

Funciones a trozos y parámetros

Calcula límite izquierdo, derecho y valor en cada unión. Para continuidad con un parámetro, impón coincidencia y comprueba después los tres datos.

8.10 Problemas integrados y síntesis

Elegir y explicar el procedimiento

Identifica si la entrada se acerca a un número o se aleja a un infinito. En un punto, sustituye si hay continuidad, compara laterales si cambia la fórmula, transforma $0/0$ y estudia signos si aparece un denominador próximo a cero con numerador no nulo. En infinito, usa términos dominantes o conjugado según la expresión. Después interpreta el resultado.

Modelos y sus límites de validez

Un crecimiento exponencial con factor mayor que uno tiende a $+\infty$ ; un modelo de saturación puede acercarse a un valor finito. Esto no certifica que uno describa para siempre una población real: se comparan con datos y recursos disponibles. Las cifras de los ejercicios son supuestos didácticos, no datos observados.

Comunicación y revisión

En parejas, intercambiad una tabla de tendencias y detectad qué conclusión necesita todavía justificación. Cada integrante entrega una corrección individual con expresión original, transformación válida y explicación del resultado. No se incluyen sucesiones en esta unidad.

Uso de la calculadora

Tablas de aproximación

En Tabla de fx-991SP CW (HOME) o fx-570SP X II (MENU), introduce la función y elige entradas válidas próximas al punto por separado a izquierda y derecha. Para $(x^2-1)/(x-1)$ en uno, utiliza $0{,}9$ , $0{,}99$ , $1{,}01$ , $1{,}1$ , mediante evaluación individual o tablas pequeñas con pasos adecuados. No introduzcas $x=1$ como si la función tuviera que dar su límite. Para infinito, compara entradas crecientes como $10,100,1000$ ; para el otro extremo usa negativas de módulos crecientes. No confundas un número grande con infinito ni pruebes un límite con tres resultados.

Redondeo y ventana

La diferencia $\sqrt{1+x}-1$ puede perder precisión si $x$ es muy pequeño; la forma racionalizada permite contrastar. Un valor mostrado como cero puede ser fruto del redondeo. Una ventana gráfica puede ocultar un hueco o unir visualmente dos ramas; usa puntos abiertos y expresiones originales para interpretarla.

Explora con GeoGebra

Representa la recta $y=x+1$ , señala un hueco en $(1,2)$ y un punto lleno en $(1,7)$ para modelizar la función del primer capítulo. Compara la altura de las ramas cercanas con el valor aislado. Después representa una función con salto y otra con asíntota vertical, registra laterales y explica las diferencias sin basarte solo en la apariencia.

Abrir GeoGebra Clásico

Práctica con comprobación

8.1 Idea intuitiva de límite en un punto

U08-01

Calcula $\lim_{x\to2}(2x+1)$ e imagen en $2$ .

U08-02

Sea $f(x)=x+1$ si $x\ne1$ y $f(1)=7$ . Halla límite en $1$ y valor en ese punto.

U08-03

Justifica el límite en $1$ de $(x^2-1)/(x-1)$ e indica si existe la imagen.

8.2 Límites laterales

U08-04

Para $f(x)=x+1$ si $x<2$ y $2x$ si $x\ge2$ , calcula ambos laterales, el bilateral y $f(2)$ .

U08-05

Sea $g(x)=x^2$ para $x<1$ y $2x-1$ para $x\ge1$ . Calcula límites y valor en $1$ .

U08-06

Explica el límite por la derecha de $\sqrt x$ en $0$ y por qué no se usa una tabla de entradas negativas reales.

8.3 Límites infinitos en un punto

U08-07

Halla los límites laterales de $1/(x-3)$ en $3$ y su asíntota.

U08-08

Calcula $\lim_{x\to1}(-2/(x-1)^2)$ .

U08-09

Compara en $2$ las tendencias de $(x^2-4)/(x-2)$ y de $1/(x-2)$ .

8.4 Límites en el infinito

U08-10

Halla límites de $1/x$ , $x^2$ y $x^3$ en ambos infinitos.

U08-11

Determina límites en ambos infinitos de $2+3/(x-1)$ .

U08-12

Para $P(t)=1000t/(t+5)$ , $t\ge0$ , calcula $P(5)$ , límite y si alcanza $1000$ .

8.5 Propiedades y cálculo directo

U08-13

Calcula los límites en $2$ de $x^2+3x-1$ y en $1$ de $(x+2)/(x+3)$ .

U08-14

Calcula $\lim_{x\to3}\sqrt{x+1}$ y $\lim_{x\to0}2^x$ .

U08-15

Si $f\to2$ y $g\to-3$ , halla límites de $f+g$ , $fg$ y $f/g$ .

8.6 Indeterminación cero entre cero

U08-16

Calcula $\lim_{x\to3}(x^2-9)/(x-3)$ .

U08-17

Calcula $\lim_{x\to1}(x^3-3x^2+2)/(x-1)$ mediante Ruffini.

U08-18

Calcula $\lim_{x\to1}(\sqrt{x+3}-2)/(x-1)$ .

U08-19

Calcula $\lim_{x\to0}(\sqrt{1+x}-1)/x$ e indica si la expresión original está definida en cero.

8.7 Indeterminaciones en el infinito

U08-20

Calcula en ambos infinitos $(3x^2-x+1)/(2x^2+5)$ .

U08-21

Halla límites de $(2x+1)/(x^2+3)$ en ambos infinitos.

U08-22

Calcula en ambos infinitos $(-2x^3+x)/(x^2+1)$ .

U08-23

Calcula $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+3x}-x)$ .

U08-24

Calcula $\lim_{x\to+\infty}(x^2+1)/(x+1)-x$ .

8.8 Continuidad

U08-25

Clasifica en $1$ la función $x+1$ para $x\ne1$ y valor $7$ en $1$ . ¿Cómo se repara?

U08-26

Clasifica en $0$ la función $1$ para $x<0$ y $2$ para $x\ge0$ .

U08-27

Halla $k$ para continuidad de $2x+k$ si $x<1$ y $x^2+4$ si $x\ge1$ .

U08-28

Halla $b$ para continuidad de $bx$ si $x<2$ y $x+4$ si $x\ge2$ .

U08-29

Estudia continuidad de $\sqrt x$ en $[0,4]$ y de $1/x$ en $[-1,1]$ .

8.9 Calculadora y GeoGebra

U08-30

Calcula $(x^2-1)/(x-1)$ para $x=0{,}99$ y $1{,}01$ . ¿Es el límite exactamente uno de esos valores?

U08-31

Una pantalla no muestra el hueco de $(x^2-1)/(x-1)$ en uno. ¿Puede concluirse que la función es continua allí?

Práctica global

U08-G01

Calcula $\lim_{x\to2}(x^2-4)/(x-2)$ y explica el valor que habría que asignar en dos para continuidad.

U08-G02

Calcula $\lim_{x\to4}(\sqrt x-2)/(x-4)$ .

U08-G03

Calcula los límites laterales de $-3/(x+1)$ en $-1$ .

U08-G04

Halla límites en ambos infinitos de $(4x^2+1)/(2x^2-3)$ .

U08-G05

Calcula $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+4x}-x)$ .

U08-G06

Halla $k$ para continuidad en $2$ de $x+k$ si $x<2$ y $x^2$ si $x\ge2$ .

U08-G07

Una función vale $x^2$ si $x<1$ y $x+2$ si $x\ge1$ . Estudia continuidad en uno.

U08-G08

Un coste medio por kilogramo es $C(x)=12+600/x$ euros/kg, para una producción de $x>0$ kg. Interpreta el valor al crecer mucho $x$ y si se alcanza.

Razonamiento matemático

8.10 Problemas integrados y síntesis

U08-32

Una tarifa vale $2t$ si $0\le t<2$ y $5+1{,}5(t-2)$ si $t\ge2$ . Halla laterales y valor en $2$ e interpreta.

U08-33

Compara a largo plazo $N(t)=200\cdot2^t$ y $P(t)=1000t/(t+5)$ para $t\ge0$ .

Formulario visual

Punto, laterales e infinito

$\lim_{x\to a}f(x)=L$ describe la tendencia cerca de $a$ , no necesariamente $f(a)$ . El límite bilateral finito exige que ambos laterales existan y sean iguales a $L$ . En extremos del dominio se usa la aproximación lateral pertinente.

$\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty$ : tendencia sin cota, no valor real de la función. Si al menos un lateral es infinito, $x=a$ es asíntota vertical. Para asíntota horizontal $y=L$ , basta un límite finito $L$ cuando $x\to+\infty$ o $x\to-\infty$ ; la gráfica puede cruzarla.

Elegir el procedimiento

Situación	Actuación
Punto de continuidad	Sustituir; comprobar existencia de la expresión.
Función a trozos	Usar la rama de cada lado; separar límites y valor exacto.
$0/0$ con polinomios	Factorizar, usar identidades o Ruffini; cancelar para $x\ne a$ y calcular el límite de la expresión equivalente próxima.
$0/0$ con raíces	Conjugado cuando forme diferencia de cuadrados; conservar dominio.
Numerador no nulo y denominador hacia cero	Estudiar signos a cada lado; no asignar automáticamente un infinito común.
$\infty/\infty$ racional	Dividir por la mayor potencia de $x$ . Menor grado arriba: cero; igual grado: cociente principal; mayor grado arriba: estudiar signo y dirección.
$\infty-\infty$	Reducir a cociente o usar conjugado. No restar símbolos de infinito.

Si los límites de $f,g$ son $L,M$ finitos: suma $L+M$ , diferencia $L-M$ , producto $LM$ ; cociente $L/M$ solo si $M\ne0$ .

Hacia menos infinito, $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ para entradas negativas. Las potencias pares e impares tienen distinto comportamiento de signo. Otras formas indeterminadas se reconocen, pero no se desarrollan técnicas avanzadas ni L’Hôpital.

Continuidad

En un punto interior: (1) existe $f(a)$ ; (2) existe límite finito; (3) coincide con $f(a)$ . En $[a,b]$ , revisar continuidad por la derecha en $a$ y por la izquierda en $b$ .

Evitable: límite finito y valor ausente o distinto. Salto finito: laterales finitos distintos. Infinita: algún lateral infinito. Con un parámetro, igualar laterales y verificar también el valor de la rama que incluye el punto.

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