Funciones elementales

7.1 Concepto de función. Dominio y recorrido

Una entrada, una salida

Una función asigna a cada valor $x$ de su dominio un único valor $y=f(x)$. La variable independiente es la entrada; la dependiente es la salida. Distintas entradas pueden tener la misma salida. El dominio contiene las entradas admitidas; el recorrido o imagen contiene las salidas que realmente se alcanzan. No confundas recorrido con un conjunto de llegada que puede ser más amplio. Podemos describir una función mediante palabras, un diagrama de correspondencia, una tabla, una fórmula o una gráfica. En una gráfica, cada recta vertical corta a lo sumo en un punto. Una tabla finita no permite conocer sin información adicional todos los valores de una función real.

Este diagrama restringe $f(x)=x^2$ al dominio $\{-1,0,1\}$: su recorrido es $\{0,1\}$. La fórmula $x^2$ en todo $\mathbb R$ tiene otro dominio y otro recorrido.

Imágenes, antecedentes y restricciones

Calcular $f(a)$ es sustituir $x=a$. Hallar los antecedentes de $b$ es resolver $f(x)=b$ dentro del dominio; puede haber ninguno, uno o varios. En un cociente, el denominador debe ser distinto de cero; en una raíz par, el radicando no negativo; en un logaritmo, el argumento positivo. Las condiciones se cumplen simultáneamente. En un contexto se añaden restricciones: tiempo no negativo, cantidades enteras o capacidad máxima.

7.2 Operaciones con funciones

Operaciones y sus dominios

Definimos $(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)$ y $(fg)(x)=f(x)g(x)$ en la intersección de los dominios. En $f/g$ se excluyen además los ceros de $g$. Una simplificación algebraica no recupera automáticamente los valores excluidos de la operación original.

Componer en el orden correcto

$(f\circ g)(x)=f(g(x))$: primero actúa $g$, luego $f$. Se requiere $x\in D_g$ y $g(x)\in D_f$. En general cambiar el orden cambia la función.

La función inversa

Una función tiene inversa como función sobre su recorrido si cada salida tiene un único antecedente. Para $f(x)=2x+1$, invertir las operaciones da $f^{-1}(x)=(x-1)/2$. Su gráfica es simétrica de la original respecto de $y=x$ porque se intercambian las coordenadas. $f^{-1}(x)$ no significa $1/f(x)$. La función $x^2$ no tiene inversa en todo $\mathbb R$: $1$ y $-1$ tienen la misma imagen. Restringida a $[0,+\infty)$, sí: su inversa es $\sqrt x$, con dominio y recorrido también $[0,+\infty)$.

7.3 Propiedades de las funciones

Leer una gráfica

Los ceros son los valores de $x$ con $f(x)=0$; los puntos correspondientes son los cortes con el eje horizontal. El corte vertical es $(0,f(0))$ si existe. El signo se lee sobre o bajo el eje $X$. En un intervalo, una función es estrictamente creciente si $x_1<x_2$ implica $f(x_1)<f(x_2)$; decreciente si ocurre lo contrario; constante si las salidas no cambian. Se suele hablar de creciente en sentido amplio con $\le$: aquí indicaremos cuándo el crecimiento es estricto. Un máximo relativo domina los valores próximos dentro del dominio; uno absoluto domina todos los valores. En un intervalo cerrado también se revisan los extremos. No confundas la abscisa donde se alcanza el extremo con su valor o con el punto completo.

Simetría, periodicidad y continuidad intuitiva

Con dominio simétrico, $f(-x)=f(x)$ caracteriza una función par, simétrica respecto de $Y$; $f(-x)=-f(x)$ caracteriza una impar, simétrica respecto del origen. Una función periódica repite sus valores cada $T>0$, con dominio compatible con esa traslación. El menor período positivo, si existe, es el fundamental. La continuidad se explora observando que no haya huecos ni saltos al aproximarse a un punto del dominio. La imagen del lápiz es una ayuda, no una definición: U8 precisará las condiciones mediante límites.

Tasa de variación media

$$\operatorname{TVM}_{[a,b]}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\qquad a<b.$$ Es la pendiente de la secante y mide cambio medio de la salida por unidad de entrada. No es, en general, la variación en cada instante.

7.4 Funciones polinómicas

Constantes, proporcionales y afines

$f(x)=c$ es horizontal. $f(x)=mx$ modeliza proporcionalidad directa y pasa por el origen. $f(x)=mx+n$ tiene pendiente $m$ y ordenada $n$; crece si $m>0$, decrece si $m<0$ y es constante si $m=0$. De dos puntos con abscisas distintas, $m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$ y después se obtiene $n$ por sustitución.

La parábola

Para $a\ne0$, $ax^2+bx+c=a(x-h)^2+k$, con $h=-b/(2a)$ y $k=f(h)$. Vértice $(h,k)$, eje $x=h$, abre arriba para $a>0$ y abajo para $a<0$. Su dominio es $\mathbb R$; recorrido $[k,+\infty)$ o $(-\infty,k]$, respectivamente. Los cortes horizontales se obtienen resolviendo la cuadrática y el vertical es $(0,c)$. No hace falta derivar para hallar estos extremos.

Grado superior

En un polinomio sencillo, calcula puntos y ceros, estudia signos y usa simetrías conocidas para esbozar. Los ceros no siempre son cruces: $x^2(x-1)$ toca el eje en $0$ y cruza en $1$. Sin derivadas no se propone localizar exactamente todos los extremos de cualquier polinomio.

7.5 Funciones racionales

Cocientes y proporcionalidad inversa

Una función racional es cociente de polinomios, con denominador no nulo. Para $k\ne0$, $f(x)=k/x$ tiene dominio y recorrido $\mathbb R\setminus\{0\}$. Sus ramas se acercan a $x=0$ e $y=0$ sin alcanzar esos ejes. Esas rectas son sus asíntotas vertical y horizontal; U8 justificará este acercamiento con límites. Si $k>0$, las ramas están en I y III; si $k<0$, en II y IV. En repartos de un coste fijo entre personas, el dominio contextual es positivo y discreto.

Traslaciones

Para $f(x)=a/(x-h)+k$, $a\ne0$, las asíntotas son $x=h$ e $y=k$, el dominio excluye $h$ y el recorrido excluye $k$.

Huecos y asíntotas no son lo mismo

$g(x)=(x^2-1)/(x-1)$ coincide con $x+1$ para $x\ne1$, pero tiene un hueco en $(1,2)$. No tiene asíntota vertical en $1$: sus valores próximos están próximos a $2$. Simplificar ayuda a dibujar, pero no elimina la restricción original.

En este gráfico de ejemplo, las asíntotas son $x=1$ e $y=2$.

7.6 Funciones radicales y valor absoluto

Raíz cuadrada y traslaciones

$f(x)=\sqrt x$ tiene dominio y recorrido $[0,+\infty)$ y es estrictamente creciente. En $g(x)=\sqrt{x-h}+k$, el dominio es $[h,+\infty)$ y el recorrido $[k,+\infty)$. Si se multiplica por un número negativo, la gráfica se refleja y su recorrido cambia de sentido.

Valor absoluto y distancia

$|x|$ es la distancia de $x$ a $0$ y $|x-a|$, la distancia a $a$. Su gráfica tiene forma de V. Se escribe $|x|=-x$ para $x<0$ y $|x|=x$ para $x\ge0$. $$|x-2|=\begin{cases}2-x,&x<2,\\x-2,&x\ge2.\end{cases}$$ Tiene mínimo $0$ en $2$, dominio $\mathbb R$ y recorrido $[0,+\infty)$. Al representar $|f(x)|$, las partes negativas de la gráfica se reflejan hacia arriba y las no negativas permanecen.

7.7 Funciones exponenciales

La variable en el exponente

Para $a>0$, $a\ne1$, $f(x)=a^x$ tiene dominio $\mathbb R$, recorrido $(0,+\infty)$ y pasa por $(0,1)$. Es creciente si $a>1$ y decreciente si $0<a<1$. No corta el eje $X$; $y=0$ es asíntota horizontal en el extremo donde sus valores se aproximan a cero. No confundir $a^x$ con $x^a$.

Aumento y disminución

En $N(t)=N_0a^t$, $N_0$ es el valor inicial y $a$ el factor por unidad de tiempo. Un aumento del $8\%$ usa $a=1{,}08$; una disminución del $20\%$, $a=0{,}8$. En recuentos, el modelo puede dar valores reales que se interpretan como aproximaciones, no como fracciones literales de personas.

Validez del modelo

Un crecimiento exponencial no puede extrapolarse sin límite en un medio con recursos finitos. Identifica el intervalo de observación y contrasta las predicciones con los supuestos. No se introduce interés compuesto.

7.8 Funciones logarítmicas

Inversa de la exponencial

$\log_a x=y$ equivale a $a^y=x$, con $a>0$, $a\ne1$ y $x>0$. Por tanto, $\log_a(a^x)=x$ y $a^{\log_a x}=x$ donde corresponda. El dominio del logaritmo es $(0,+\infty)$, recorrido $\mathbb R$, cero en $x=1$ y asíntota vertical $x=0$. Es creciente para $a>1$ y decreciente para $0<a<1$; no tiene corte vertical. Su gráfica y la exponencial de la misma base se reflejan sobre $y=x$.

Restricciones y escalas

En $\log_a(g(x))$ se exige $g(x)>0$, no $g(x)\ge0$. El logaritmo convierte factores multiplicativos en diferencias aditivas.

En el modelo escolar de pH, $\mathrm{pH}=-\log_{10}c$, con $c$ concentración de iones hidrógeno expresada en mol/L respecto a la referencia de $1$ mol/L. Para una escala sísmica simplificada $M=\log_{10}(A/A_0)$, un aumento de una unidad corresponde a diez veces la amplitud relativa; no a diez veces la energía. Son modelos de escala, no instrucciones para mediciones profesionales.

7.9 Funciones trigonométricas

Gráficas y periodicidad

En este apartado el argumento se expresa en radianes. Seno y coseno tienen dominio $\mathbb R$, recorrido $[-1,1]$ y período fundamental $2\pi$. La circunferencia goniométrica explica las coordenadas $(\cos x,\sin x)$ y la repetición tras una vuelta. Los ceros del seno son $k\pi$; los del coseno, $\pi/2+k\pi$, $k\in\mathbb Z$. La tangente tiene dominio $\mathbb R\setminus\{\pi/2+k\pi\}$, recorrido $\mathbb R$, ceros $k\pi$ y período fundamental $\pi$. Presenta asíntotas verticales en los valores excluidos; no unas ramas con otras atravesando esas rectas al dibujar.

Amplitud, período y línea media

Para $A\sin(Bx)+D$ o $A\cos(Bx)+D$, con $A,B\ne0$, amplitud $|A|$, período $2\pi/|B|$, línea media $D$ y recorrido $[D-|A|,D+|A|]$. Si $A=0$ o $B=0$, la función es constante y esta fórmula no se interpreta como período fundamental.

7.10 Transformaciones y construcción de funciones

Mover y reflejar una gráfica

$f(x-h)+k$ traslada la gráfica $h$ horizontalmente y $k$ verticalmente. Si $(u,f(u))$ era un punto, ahora $(u+h,f(u)+k)$ lo es: esta sustitución explica el signo del desplazamiento horizontal. $-f(x)$ refleja sobre $X$ y $f(-x)$ sobre $Y$. Multiplicar por $a$ escala las ordenadas por $|a|$, añadiendo reflexión si $a<0$; $f(bx)$, $b\ne0$, escala abscisas por $1/|b|$ y refleja sobre $Y$ si $b<0$.

Funciones a trozos

Una expresión distinta actúa en cada intervalo. Evalúa primero a qué intervalo pertenece la entrada. En un punto de unión, un punto lleno indica valor incluido y uno abierto indica valor excluido. Debe quedar una única salida por entrada del dominio.

Construir bajo condiciones

Para una recta usa dos datos independientes; para una parábola de vértice conocido usa $a(x-h)^2+k$ y determina $a$ con otro punto. No siempre hay una única función que cumpla unas condiciones: busca y explica si hay libertad para elegir.

7.12 Problemas integrados y síntesis

Estudiar sin derivadas

Identifica familia y dominio, calcula cortes, usa una forma conocida o transformada, estudia signo, simetría y variación mediante argumentos elementales y esboza. Explica el recorrido y los extremos que puedas justificar. El estudio de límites completará después las asíntotas; la derivada pertenece a otra unidad.

Modelizar y leer críticamente

Distingue una recta de un crecimiento multiplicativo, una proporcionalidad inversa de una relación lineal y una oscilación de una tendencia. Escribe unidades y dominio físico. En un gráfico ambiental, comprueba el eje vertical, escala temporal y procedencia de los datos antes de comparar tendencias; aquí no se presentan cifras reales sin fuente.

Revisión personal

Elige una propiedad que inferiste de un dibujo y compruébala con álgebra. Redacta el error inicial, su corrección y qué dato te permitió detectarlo. En una discusión de modelos, distingue dato observado y predicción.

Uso de la calculadora

Evaluación y tablas en CASIO

En fx-991SP CW abre HOME y Tabla; en fx-570SP X II, MENU y Tabla. Introduce la expresión en $x$, el valor inicial, final y paso, respetando su dominio. Para $f(x)=x^2-4$, usa inicio $-3$, fin $3$ y paso $1$. Conserva la tabla con las entradas, no solo la pantalla final. Un mensaje de error en $1/(x-2)$ para $x=2$ expresa una restricción; no lo sustituyas por cero. Para trigonométricas, comprueba DEG/RAD: en radianes $\sin(\pi/2)=1$. Usa CONFIG, Unidad angular, en la CW; SHIFT y MENU (CONFIG) en la X II. La tabla puede no incluir un vértice o un hueco si el paso los omite.

Explora con GeoGebra

En la calculadora gráfica de GeoGebra introduce $f(x)=x^2-4x+3$ y $g(x)=(x-2)^2-1$: sus gráficas deben coincidir. Marca $(2,-1)$ y los cortes $(1,0),(3,0)$. Cambia la ventana hasta ver los rasgos relevantes; una ventana inadecuada puede ocultar un mínimo o hacer parecer recta una curva.

Tarea de comparación

En parejas, elige una familia y compara tres valores de un parámetro, registrando fórmula, dominio, recorrido y gráfico. Formula una conjetura y justifícala con la expresión. Cada integrante debe explicar un caso y un límite de la evidencia visual; los gráficos aproximados no prueban por sí solos todas las propiedades.

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Práctica con comprobación

7.1 Concepto de función. Dominio y recorrido

7.2 Operaciones con funciones

7.3 Propiedades de las funciones

7.4 Funciones polinómicas

7.5 Funciones racionales

7.6 Funciones radicales y valor absoluto

7.7 Funciones exponenciales

7.8 Funciones logarítmicas

7.9 Funciones trigonométricas

7.10 Transformaciones y construcción de funciones

7.11 Calculadora y GeoGebra

Práctica global

Razonamiento matemático

7.12 Problemas integrados y síntesis

Laboratorio de gráficas

Actividades originales. Referencia didáctica El lenguaje de funciones y gráficas, Shell Centre for Mathematical Education, edición española de 1990.

Leer una gráfica

Una parada en el camino

La cámara frigorífica

Dibujar una historia

Dos tramos de un depósito

Una batería con descanso

Elegir un modelo

La misma salida, dos patrones

Folletos por grupo

Formulario visual

Consultar esquemas del tema

Autoevaluación de 20 preguntas

Selecciona una opción en cada pregunta y justifica las que te generen dudas. La clave se trabaja con la docente.