Vectores y geometría analítica

6.1 Puntos y vectores en el plano

Posiciones y desplazamientos

Un punto $A=(a_1,a_2)$ indica una posición. Un vector fijo $\overrightarrow{AB}$ representa el desplazamiento desde $A$ hasta $B$: su origen y su extremo importan. Su módulo es la longitud, su dirección la de su recta soporte y su sentido va del origen al extremo. Dos vectores fijos equipolentes tienen igual módulo, dirección y sentido y representan el mismo vector libre, aunque estén aplicados en lugares distintos.

Componentes

En los ejes cartesianos ortonormales, $\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)$. Primero extremo menos origen. Al invertir el recorrido obtenemos $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$. El vector nulo $(0,0)$ tiene módulo cero y no tiene dirección ni sentido determinados.

6.2 Operaciones con vectores

Suma y resta gráficas

Para sumar, traslada el segundo vector sin girarlo hasta el extremo del primero. El vector desde el origen inicial al extremo final es la suma: regla del triángulo. Con ambos en un origen común, la diagonal del paralelogramo da la misma suma. Restar $\vec v$ es sumar $-\vec v$.

Operaciones con componentes

Si $\vec u=(u_1,u_2)$ y $\vec v=(v_1,v_2)$, entonces $\vec u\pm\vec v=(u_1\pm v_1,u_2\pm v_2)$ y $\lambda\vec u=(\lambda u_1,\lambda u_2)$. Para $\lambda>0$ se conserva el sentido; para $\lambda<0$ se invierte; el módulo se multiplica por $|\lambda|$.

Combinaciones y paralelismo

Una combinación lineal es $a\vec u+b\vec v$. Dos vectores no nulos son paralelos si uno es múltiplo del otro. Con ceros, usa las dos igualdades de componentes; no formes cocientes de denominador cero. Equivalentemente, $u_1v_2-u_2v_1=0$. El vector nulo no se usa como director de una recta.

6.3 Distancias y puntos destacados

Módulo y distancia

En ejes ortonormales, Pitágoras da $|\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$. La distancia entre puntos es el módulo de su diferencia: $$d(A,B)=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}.$$ Las componentes pueden ser negativas; el módulo nunca es negativo.

Punto medio y extremo desconocido

El punto medio es $M=((a_1+b_1)/2,(a_2+b_2)/2)$. Si conocemos $A$ y $M$, despejamos $B=2M-A$. No se promedian las longitudes de las componentes: se promedian sus coordenadas con signo.

Aplicaciones

La igualdad de longitudes permite comprobar lados congruentes. El punto medio común de las diagonales permite reconocer un paralelogramo, siempre que los cuatro vértices formen un cuadrilátero no degenerado y estén ordenados correctamente.

6.4 Producto escalar y aplicaciones

Dos expresiones del mismo producto

Para vectores no nulos que forman ángulo $\theta\in[0^\circ,180^\circ]$, $$\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos\theta=u_1v_1+u_2v_2.$$ El resultado es un número, no un vector. La expresión con componentes es válida también para el vector nulo. Se deduce de aplicar el teorema del coseno a $\vec u-\vec v$ y comparar con la suma de cuadrados de sus componentes.

Ángulos y perpendicularidad

$$\theta=\arccos\frac{u_1v_1+u_2v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}}.$$ No se aplica si alguno es nulo. Vectores no nulos son perpendiculares si su producto escalar es cero. Producto positivo: ángulo agudo; negativo: obtuso. El ángulo geométrico entre dos vectores se toma entre $0$ y $180$ grados.

Ángulos de figuras

Para el ángulo en un vértice $A$, utiliza $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$, ambos con origen en $A$. Usar $\overrightarrow{BA}$ cambia el ángulo por su suplementario. No basta con que un dibujo parezca perpendicular.

6.5 Ecuaciones de la recta

Punto y vector director

Una recta queda determinada por un punto $P=(p_1,p_2)$ y un vector director $\vec v=(v_1,v_2)\ne(0,0)$. Su ecuación vectorial es $(x,y)=P+t\vec v$, $t\in\mathbb R$, y las paramétricas son $x=p_1+tv_1$, $y=p_2+tv_2$. El mismo $t$ debe satisfacer ambas.

Continua, general y pendiente

Si $v_1,v_2$ son no nulos, la continua es $(x-p_1)/v_1=(y-p_2)/v_2$. Si alguna componente es cero, usa las paramétricas o la ecuación de la coordenada constante: no dividas por cero. La ecuación general es $Ax+By+C=0$, con $(A,B)\ne(0,0)$. Un director es $(B,-A)$ y un vector perpendicular es $(A,B)$. Si $B\ne0$, la explícita es $y=mx+n$, $m=-A/B$, $n=-C/B$. La forma punto-pendiente es $y-p_2=m(x-p_1)$. Para director de primera componente no nula, $m=v_2/v_1$.

Dos puntos y casos especiales

Dados $P\ne Q$, toma director $Q-P$. Para una horizontal $y=b$, director $(1,0)$ y pendiente $0$; para una vertical $x=a$, director $(0,1)$ y pendiente no definida. No toda recta tiene forma explícita $y=mx+n$.

6.6 Problemas de incidencia

Pertenencia y alineación

Para saber si un punto pertenece, sustituye sus dos coordenadas en la ecuación. En paramétricas, busca un mismo parámetro para ambas. Tres puntos distintos están alineados si sus vectores desde un mismo origen son paralelos: $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ proporcionales. Si $A=B$, trata primero esa coincidencia: dos puntos iguales no determinan una recta única.

Intersección mediante sistemas

La intersección de dos rectas es el conjunto de puntos que cumple ambas ecuaciones. Resuelve el sistema y comprueba en las dos. Una solución es un cruce; una incompatibilidad indica paralelas distintas y una identidad, la misma recta.

Interpretar el resultado

Una recta representa un recorrido completo ideal. Si el problema limita a segmentos, comprueba además que el punto de corte está en ambos segmentos. Dos trayectorias pueden cruzarse sin que dos móviles coincidan a la misma hora.

6.7 Posición relativa de dos rectas

Secantes, paralelas y coincidentes

Dos rectas del plano son secantes si tienen un punto común, paralelas distintas si no tienen ninguno, y coincidentes si todos sus puntos son comunes. Para $A_1x+B_1y+C_1=0$, $A_2x+B_2y+C_2=0$, calcula $D=A_1B_2-A_2B_1$. Si $D\ne0$, son secantes. Si $D=0$, resuelve o compara las ecuaciones completas para distinguir paralelas y coincidentes. No uses cocientes con ceros.

Directores y pendientes

Directores proporcionales indican rectas paralelas o coincidentes, no distinguen ambas opciones. Para distinguirlas, comprueba un punto de una en la otra. Con pendientes finitas distintas, son secantes; iguales, comprueba también el término independiente.

Perpendicularidad y casos verticales

Dos rectas con directores $\vec u,\vec v$ son perpendiculares si $\vec u\cdot\vec v=0$. Con pendientes finitas, $m_1m_2=-1$. Una vertical y una horizontal son perpendiculares aunque no pueda hacerse el producto de sus pendientes.

6.8 Construcción de rectas con condiciones

Paralela por un punto

Conserva un director de la recta dada y cambia el punto al que debe pasar. En forma general, si la dada es $Ax+By+C=0$, una paralela tiene $Ax+By+C'=0$. Sustituye el punto para hallar $C'$. Si el punto ya está en la recta, resulta la misma recta.

Perpendicular por un punto

Si un director es $(u,v)$, uno perpendicular es $(-v,u)$: su producto es cero. En una general, $(A,B)$ es director de una perpendicular. Así puedes resolver casos verticales sin pendientes.

Mediatriz, medianas y alturas

La mediatriz pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a él. Sus puntos equidistan de los extremos. La mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto. La altura pasa por un vértice y es perpendicular a la recta del lado opuesto. No son lo mismo: solo coinciden en ciertos triángulos.

6.9 Problemas de geometría analítica

Clasificar con evidencias

Para un triángulo, compara cuadrados de longitudes antes de extraer raíces: dos iguales indican isósceles; producto escalar cero en un vértice indica rectángulo. Un triángulo puede ser isósceles y rectángulo a la vez. Para un cuadrilátero, respeta el orden de los vértices y comprueba que no sea degenerado; estudia lados opuestos, diagonales y ángulos según lo que quieras demostrar.

Planos y diseño urbano

Elige un origen y fija la escala de los ejes antes de calcular. Un vector de componentes $(3,4)$ representa $5$ unidades de distancia; si cada unidad corresponde a $100$ m, son $500$ m reales. Una calle ideal se modeliza con una recta; un tramo concreto exige comprobar los límites del segmento.

Decidir y comunicar

En parejas, plantead dos ubicaciones para un punto de encuentro en un plano sencillo y justificad una condición de equidistancia con una mediatriz. Comparad la distancia en línea recta con un recorrido por calles. La propuesta debe explicar qué condiciones reales no recoge el plano; no se afirma que distancia recta y recorrido urbano coincidan.

6.11 Problemas integrados y síntesis

Elegir la representación

Si conoces un punto y un desplazamiento, empieza con vectorial o paramétricas. Para pendiente e interpretación de crecimiento, usa explícita si no es vertical. Para pertenencia, intersección y paralelas, la general puede ser más directa. Elige por utilidad, no porque una forma sea superior a las demás.

Comprobar de manera distinta

Un punto calculado por sistemas se comprueba sustituyendo; una perpendicular por pendientes se contrasta con producto escalar; una mediatriz se comprueba con distancias a los extremos. Representar ayuda a detectar errores, pero una figura aproximada no demuestra igualdad exacta.

Revisión personal

Anota un error inicial, el paso donde lo detectaste y la corrección. En pareja, intercambiad una solución y explicad qué evidencia falta. Revisad especialmente extremo menos origen, componentes cero, mismo parámetro en las dos coordenadas y distinción entre mediana, altura y mediatriz.

Uso de la calculadora

CASIO: cálculo y comprobación

En Calcular de fx-991SP CW o fx-570SP X II, calcula módulos con raíz de suma de cuadrados y producto escalar con componentes. Escribe paréntesis alrededor de números negativos: $\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$. Para ángulos usa grados y la inversa del coseno; introduce todo el cociente dentro de sus paréntesis. En la CW, HOME y Ecuación permiten elegir un sistema lineal con dos incógnitas. En la X II, MENU y Ecuación/Func permiten elegir simultáneas de dos incógnitas. Introduce coeficientes en el orden $ax+by=c$, transformando previamente las generales; conserva una copia del sistema y sustituye la pareja obtenida en las originales.

Explora con GeoGebra

Introduce puntos con sus coordenadas, construye el vector entre dos puntos y la recta que pasa por ellos. Compara la ecuación mostrada con tu forma general: multiplicar todos los coeficientes por un mismo número no nulo no cambia la recta. Usa las herramientas de intersección, paralela y perpendicular para contrastar tus cálculos. Arrastra un punto en una construcción dependiente: si una perpendicular deja de serlo, quizá se dibujó a ojo. Conserva entradas y resultados y explica qué propiedad comprueba cada herramienta. Las pantallas no sustituyen las igualdades que justifican el resultado.

Tabla de registro

Para cada caso anota datos, cálculo analítico, comprobación digital y conclusión. Si aparece un cociente ligeramente fuera de $[-1,1]$ por redondeo, revisa la precisión antes de interpretar un error; con datos exactos fuera de ese intervalo, revisa el modelo o el cálculo.

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Práctica con comprobación

6.1 Puntos y vectores en el plano

6.2 Operaciones con vectores

6.3 Distancias y puntos destacados

6.4 Producto escalar y aplicaciones

6.5 Ecuaciones de la recta

6.6 Problemas de incidencia

6.7 Posición relativa de dos rectas

6.8 Construcción de rectas con condiciones

6.9 Problemas de geometría analítica

6.10 Calculadora y GeoGebra

Práctica global

Razonamiento matemático

6.11 Problemas integrados y síntesis

Formulario visual

Consultar esquemas del tema

Autoevaluación de 20 preguntas

Selecciona una opción en cada pregunta y justifica las que te generen dudas. La clave se trabaja con la docente.

Apuntes en PDF

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