Tema 5 · 4.º ESO

Semejanza y trigonometría

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5.1 Figuras semejantes y razón de semejanza

Correspondencia y escala

Dos figuras son semejantes si una puede obtenerse de la otra cambiando su tamaño de manera uniforme, además de trasladarla, girarla o reflejarla. Sus ángulos correspondientes son iguales y sus longitudes correspondientes guardan una misma razón positiva. Antes de calcular, identifica qué vértices y lados se corresponden: no siempre ocupan la misma posición en el dibujo.

Si pasamos de una figura original a otra semejante, fijamos $k=\text{longitud nueva}/\text{longitud original}$ . Para $k>1$ ampliamos; para $0<k<1$ reducimos. Al invertir el sentido de la comparación, la razón es $1/k$ .

Longitudes, superficies y cuerpos

Cada longitud, incluido el perímetro, se multiplica por $k$ . Un área se multiplica por $k^2$ y un volumen por $k^3$ , siempre que las figuras o cuerpos sean semejantes. Un rectángulo que solo aumenta su anchura no conserva la semejanza.

Compara siempre longitudes en las mismas unidades. Si el área se multiplica por $9$ , la razón de longitudes es $3$ ; no es $9$ .

5.2 Teorema de Tales

Paralelas y segmentos

Si varias rectas paralelas cortan a dos secantes, los segmentos correspondientes que determinan son proporcionales. Es esencial comparar segmentos del mismo tipo: tramo con tramo o distancia total con distancia total.

Teorema de Tales: DE es paralelo a AB en el triángulo CAB

En el dibujo, $CD/CA=CE/CB=DE/AB$ . También $CD/DA=CE/EB$ . No mezcles $CD/CA$ con $CE/EB$ : un denominador es total y el otro es un tramo.

Dividir y medir sin acceder

Para dividir un segmento $AB$ en cinco partes iguales, dibuja desde $A$ una semirrecta auxiliar, marca cinco pasos iguales, une la quinta marca con $B$ y traza por las otras marcas paralelas a esa unión. Tales garantiza partes iguales en $AB$ . Para dividirlo en razón $2:3$ , usa la segunda marca de cinco. Las sombras permiten medir alturas si los rayos solares son paralelos, el suelo es horizontal y las mediciones se realizan al mismo tiempo.

5.3 Semejanza de triángulos

Criterios

Basta comprobar una de estas condiciones: AA, dos ángulos iguales; LLL, tres pares de lados proporcionales; LAL, dos pares de lados proporcionales y el ángulo comprendido igual. Dos lados proporcionales y un ángulo no comprendido no garantizan semejanza.

El triángulo rectángulo y su altura

En un triángulo rectángulo, la altura desde el ángulo recto hasta la hipotenusa lo divide en dos triángulos semejantes al original. Si $c$ es la hipotenusa, $a,b$ los catetos, $p$ la proyección de $a$ y $q$ la de $b$ , entonces: $c=p+q,\qquad a^2=cp,\quad b^2=cq,\qquad h^2=pq.$ Son los teoremas del cateto y de la altura. Sumando las dos igualdades de los catetos resulta $a^2+b^2=c(p+q)=c^2$ : recuperamos Pitágoras. Por el área también $ab=ch$ .

Triángulo rectángulo con altura CH y proyecciones p y q

5.4 Medida de ángulos

Grados y radianes

Una vuelta tiene $360^\circ$ . Un radián es el ángulo central que abarca un arco de longitud igual al radio. Una vuelta tiene $2\pi$ rad y media vuelta, $\pi$ rad: $\theta_\mathrm{rad}=\theta_\mathrm{grados}\frac{\pi}{180},\qquad \theta_\mathrm{grados}=\theta_\mathrm{rad}\frac{180}{\pi}.$

Orientación y vueltas

Medimos desde el lado inicial hasta el final: sentido antihorario positivo, horario negativo. Ángulos que difieren en $360^\circ k$ o $2\pi k$ , con $k$ entero, tienen el mismo lado final, aunque su medida y el número de vueltas no sean iguales.

Lectura de unidades

El símbolo de grado no se escribe después de un valor expresado en radianes. En grados sexagesimales, $1^\circ=60'$ y $1'=60''$ ; por ejemplo $12{,}5^\circ=12^\circ30'$ . No confundir $12{,}30^\circ$ con $12^\circ30'$ .

5.5 Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Definiciones y semejanza

Respecto de un ángulo agudo $\alpha$ en un triángulo rectángulo, la hipotenusa se opone al ángulo recto, el cateto opuesto queda enfrente de $\alpha$ y el contiguo forma parte de sus lados. $\sin\alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}},\quad\cos\alpha=\frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}},\quad\tan\alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}.$

Triángulo de lados 6, 8 y 10 con el ángulo de referencia señalado

Los triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo son semejantes por AA. Por eso los cocientes no dependen del tamaño. En el dibujo $\sin\alpha=3/5$ , $\cos\alpha=4/5$ y $\tan\alpha=3/4$ .

Valores exactos

Al dividir un equilátero de lado $2$ por su altura aparecen catetos $1,\sqrt3$ e hipotenusa $2$ : se deducen $30^\circ$ y $60^\circ$ . Un triángulo rectángulo isósceles con catetos $1,1$ da hipotenusa $\sqrt2$ y el ángulo $45^\circ$ .

Ángulo	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
Seno	$1/2$	$\sqrt2/2$	$\sqrt3/2$
Coseno	$\sqrt3/2$	$\sqrt2/2$	$1/2$
Tangente	$\sqrt3/3$	$1$	$\sqrt3$

Complementarios

Los dos ángulos agudos suman $90^\circ$ . Al cambiar de ángulo, los catetos intercambian sus papeles: $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$ y $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ . Para ángulos agudos, sus tangentes son recíprocas.

5.6 Resolución de triángulos rectángulos

Elegir una relación

Resolver consiste en hallar los lados y ángulos desconocidos. Dibuja y marca datos, identifica el ángulo recto, nombra los lados respecto del ángulo utilizado y escoge una relación que contenga la incógnita y datos conocidos. Con dos lados, usa Pitágoras y una razón inversa; con un lado y un ángulo agudo, usa seno, coseno o tangente. El otro ángulo es $90^\circ-\alpha$ .

Elevación, depresión y pendiente

La elevación se mide hacia arriba desde la horizontal del observador; la depresión, hacia abajo desde esa horizontal. No se miden desde la vertical. Una pendiente del $p\%$ significa $100\,\text{desnivel}/\text{distancia horizontal}=p$ ; por tanto $\tan\alpha=p/100$ .

Ángulo de elevación desde la horizontal, distancia d y desnivel h − e

Dos puntos de observación

Si se avanza $d$ metros hacia una torre y los ángulos de elevación son $\alpha$ y $\beta>\alpha$ , para observaciones a nivel del suelo: $h=(x+d)\tan\alpha=x\tan\beta$ . Despeja $x$ , distancia del punto cercano al pie. Si los ojos están a una altura $e$ , las igualdades calculan $h-e$ .

Conserva cifras durante los cálculos y redondea al final. Verifica que la hipotenusa es el mayor lado y que las longitudes y los ángulos tienen sentido.

5.7 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Circunferencia goniométrica

En la circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $1$ , el punto final de $\theta$ es $P=(\cos\theta,\sin\theta)$ . Si $\cos\theta\ne0$ , $\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$ . El seno y el coseno están entre $-1$ y $1$ . La tangente no existe en $90^\circ+180^\circ k$ .

Circunferencia unidad con las proyecciones de P sobre los ejes

Signos y ejes

Cuadrante	Seno	Coseno	Tangente
I	$+$	$+$	$+$
II	$+$	$-$	$-$
III	$-$	$-$	$+$
IV	$-$	$+$	$-$

En los ejes lee las coordenadas: para $0,90,180,270$ grados, los puntos son $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ . No asignes un signo de cuadrante a un valor cero.

Reducción al primer cuadrante

Reduce primero a $[0^\circ,360^\circ)$ . Para un ángulo fuera de los ejes, su referencia aguda es $\theta$ , $180^\circ-\theta$ , $\theta-180^\circ$ o $360^\circ-\theta$ , según esté en I, II, III o IV. Usa las magnitudes de esa referencia y el signo del cuadrante.

5.8 Identidades trigonométricas

Relaciones fundamentales

Por Pitágoras en la circunferencia unidad, $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ . Además $\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$ si $\cos\alpha\ne0$ . Dividiendo la primera por $\cos^2\alpha$ se obtiene $1+\tan^2\alpha=1/\cos^2\alpha$ , con la misma restricción. Una identidad es verdadera en todo su dominio común. Comprobarla para un ángulo aislado no la demuestra; encontrar un contraejemplo sí refuta una igualdad que se pretende universal.

Calcular razones y elegir el signo

Simplificar y justificar

Para justificar una identidad, transforma un miembro mediante igualdades válidas hasta llegar al otro. Antes de dividir, declara qué expresiones no pueden ser cero. No se incluyen fórmulas de suma, diferencia o ángulo doble en esta unidad.

$\sin^2\alpha$ significa $(\sin\alpha)^2$ ; no es $\sin(\alpha^2)$ . Tampoco $\sin\alpha+\cos\alpha=1$ es una identidad.

5.9 Resolución de triángulos cualesquiera

Notación y elección del teorema

Los lados $a,b,c$ se oponen a los ángulos $A,B,C$ , respectivamente, con $A+B+C=180^\circ$ . Un triángulo no degenerado tiene lados positivos y cada lado menor que la suma de los otros dos.

Triángulo ABC con cada lado rotulado frente a su ángulo opuesto

Teorema del seno

$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}.$ Se obtiene al expresar una misma altura de dos formas: $h=b\sin A=a\sin B$ . Es útil con dos ángulos y un lado; calcula antes el tercer ángulo.

Teorema del coseno

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$ Las otras dos expresiones se obtienen cambiando las letras. Se deduce proyectando un lado sobre otro y aplicando Pitágoras; para $A=90^\circ$ se reduce a este teorema. Úsalo con dos lados y su ángulo comprendido o con tres lados. Para hallar $A$ : $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$ .

Dos lados y un ángulo no comprendido

Con $A,a,b$ , calcula $q=b\sin A/a$ . Si $q>1$ , no existe triángulo. Si $0<q\le1$ , comprueba $B_1=\arcsin q$ y su suplementario $B_2=180^\circ-B_1$ : solo son válidos los que cumplen $A+B_i<180^\circ$ . Si coinciden, se cuenta una sola solución.

Dos triángulos posibles para un mismo ángulo A y dos lados dados

Área y comprobaciones

$S=\frac12bc\sin A=\frac12ac\sin B=\frac12ab\sin C.$ Usa siempre el ángulo comprendido entre los lados elegidos. Comprueba suma de ángulos, desigualdad triangular y correspondencia: al mayor ángulo se opone el mayor lado. Si redondeas demasiado pronto puedes perder esta coherencia.

5.11 Problemas integrados y síntesis

Un esquema de decisión

Lee qué se pide y dibuja un esquema con unidades y datos.
Si hay paralelas o ángulos iguales, busca Tales o semejanza.
En un triángulo rectángulo, elige Pitágoras o razones trigonométricas según los datos.
En un triángulo cualquiera, distingue ángulos y lados opuestos y elige seno o coseno.
Comprueba existencia, posibles soluciones alternativas, unidades y orden de magnitud.

Investigar y comunicar

En parejas, elaborad una cronología breve con tres hitos de la trigonometría. Verificad fechas, personas y aportaciones en fuentes identificables; evitad atribuir una invención colectiva a una sola persona. Cada integrante explicará la utilidad de uno de los hitos y su conexión con una medida actual. No se pide memorizar una lista de fechas. Como tarea manipulativa, construid un medidor de ángulos con transportador, hilo y peso; medid una altura accesible con distancia horizontal conocida. No apuntéis al Sol. Comparad dos mediciones, estimad posibles errores y justificad las condiciones del modelo.

Errores que conviene detectar

No confundir $k$ con $k^2$ ; no mezclar lados no correspondientes; no sumar $\sin A+\sin B$ como si fuera $\sin(A+B)$ ; no elegir un ángulo suplementario sin comprobar el triángulo; no usar una longitud inclinada como distancia horizontal.

Uso de la calculadora

CASIO fx-991SP CW y fx-570SP X II

Antes de introducir razones, fija la unidad angular. En la CW, abre CONFIG y selecciona el ajuste de cálculo de Unidad angular: Grado sexag para grados o Radián para radianes. En la X II se accede a la configuración con SHIFT y MENU (CONFIG); elige Unidad angular y grados o radianes. Comprueba el indicador de la pantalla y prueba $\sin30^\circ=0{,}5$ en grados o $\sin(\pi/6)=0{,}5$ en radianes.

Cálculo directo e inverso

En Calcular de la CW o Calcular de la X II, introduce por ejemplo $24\tan35+1{,}5$ , con paréntesis si hay operaciones compuestas. Para hallar el ángulo de seno $0{,}6$ , usa Arcsen en el catálogo de funciones trigonométricas de la CW o SHIFT y seno en la X II. En grados obtendrás $36{,}869897\ldots$ ; escribe $36{,}87^\circ$ si se piden centésimas. La notación $\sin^{-1}$ del teclado significa función inversa, no $1/\sin$ . La inversa del seno devuelve el valor principal; el estudio del triángulo decide si hay un suplementario admisible. La calculadora no sustituye la comprobación de los datos.

Explora con GeoGebra

Construye un triángulo y una homotecia de razón positiva variable $k$ . Registra razones de lados y áreas para $k=1/2,2,3$ y explica el patrón. Para la circunferencia, dibuja centro $(0,0)$ y radio $1$ , un punto móvil $P$ y las proyecciones sobre los ejes: contrasta sus coordenadas con coseno y seno del ángulo orientado. Comprueba la unidad angular que muestra el programa.

Registro de trabajo

Conserva los datos introducidos, una tabla de resultados y una explicación individual. Una imagen de pantalla sola no justifica un resultado ni demuestra una identidad.

Abrir GeoGebra Clásico

Práctica con comprobación

5.1 Figuras semejantes y razón de semejanza

U05-01

Dos triángulos semejantes tienen lados correspondientes de $4$ y $10$ cm. Halla la razón del primero al segundo y la inversa.

U05-02

Una figura tiene perímetro $18$ cm y área $12$ cm $^2$ . Se amplía con $k=3$ . Calcula las nuevas medidas.

U05-03

Dos cuerpos semejantes tienen razón de volúmenes $125:8$ . Halla la razón de longitudes y la de áreas en el mismo sentido.

U05-04

En un mapa $1:25000$ , un camino mide $6$ cm. ¿Cuál es su longitud real?

U05-05

¿Son semejantes los rectángulos de $3\times5$ cm y $6\times9$ cm?

5.2 Teorema de Tales

U05-06

En el esquema del capítulo, $CD=4$ , $DA=6$ y $CE=5$ cm. Halla $EB$ .

U05-07

En un triángulo $ABC$ , $D\in CA$ , $E\in CB$ y $DE\parallel AB$ . Si $CD/CA=2/5$ y $AB=15$ cm, halla $DE$ .

U05-08

Divide un segmento de $15$ cm en dos partes en razón $2:3$ . Explica la construcción de Tales.

U05-09

Una vara vertical de $1{,}5$ m proyecta $2$ m de sombra y un árbol proyecta $12$ m. Halla la altura del árbol bajo las condiciones de Tales.

5.3 Semejanza de triángulos

U05-10

Dos triángulos tienen ángulos de $40^\circ$ y $65^\circ$ . ¿Basta para afirmar que son semejantes?

U05-11

Compara triángulos de lados $3,4,5$ y $6,8,10$ cm.

U05-12

Las proyecciones sobre la hipotenusa son $9$ y $16$ cm. Halla hipotenusa, altura y catetos.

U05-13

Un cateto mide $6$ cm y su proyección sobre la hipotenusa $3{,}6$ cm. Halla hipotenusa y el otro cateto.

5.4 Medida de ángulos

U05-14

Convierte $210^\circ$ a radianes y $7\pi/4$ rad a grados.

U05-15

Da un ángulo entre $0^\circ$ y $360^\circ$ , sin incluir el último, equivalente a $-450^\circ$ .

U05-16

Expresa $22{,}25^\circ$ en grados y minutos.

U05-17

¿Tienen $30^\circ$ y $390^\circ$ la misma medida? ¿Y el mismo lado final?

5.5 Razones trigonométricas de un ángulo agudo

U05-18

Un triángulo rectángulo tiene catetos $5$ y $12$ cm. Halla las tres razones del ángulo opuesto al cateto de $5$ cm.

U05-19

Calcula exactamente $\sin60^\circ$ , $\cos30^\circ$ y $\tan45^\circ$ .

U05-20

Si $\sin28^\circ\approx0{,}4695$ , calcula $\cos62^\circ$ sin otra operación trigonométrica.

U05-21

Un compañero calcula seno como hipotenusa dividida entre cateto y obtiene $1{,}4$ . Explica el error.

5.6 Resolución de triángulos rectángulos

U05-22

Una escalera de $10$ m forma $30^\circ$ con el suelo. Halla altura y separación horizontal.

U05-23

Los catetos de un triángulo rectángulo miden $6$ y $8$ cm. Resuélvelo.

U05-24

Desde un mirador situado $20$ m sobre el nivel del mar se observa una boya con depresión $30^\circ$ . Halla la distancia horizontal.

U05-25

Una rampa salva $0{,}8$ m en $10$ m horizontales. Calcula pendiente porcentual y ángulo.

U05-26

Desde dos puntos de suelo horizontal separados $10$ m, alineados con el pie de una torre y situados al mismo lado, se observan ángulos de $30^\circ$ desde el lejano y $60^\circ$ desde el cercano. Halla altura y distancia cercana.

5.7 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

U05-27

Calcula exactamente seno, coseno y tangente de $120^\circ$ .

U05-28

Calcula $\sin330^\circ$ y $\cos750^\circ$ .

U05-29

Indica $\sin270^\circ$ , $\cos180^\circ$ y si existe $\tan90^\circ$ .

U05-30

Si $\sin\alpha=3/5$ y $\alpha$ está en II, halla coseno y tangente.

5.8 Identidades trigonométricas

U05-31

Si $\cos\alpha=5/13$ y $\alpha$ está en IV, halla seno y tangente.

U05-32

Simplifica $(1-\cos^2\alpha)/\sin\alpha$ e indica su restricción.

U05-33

Justifica $1+\tan^2\alpha=1/\cos^2\alpha$ .

U05-34

Refuta con un ejemplo que $\sin\alpha+\cos\alpha=1$ para cualquier ángulo.

5.9 Resolución de triángulos cualesquiera

U05-35

$A=30^\circ$ , $B=90^\circ$ , $a=5$ cm. Resuelve el triángulo.

U05-36

Dos lados de $5$ y $7$ cm forman $60^\circ$ . Halla el tercer lado y el área.

U05-37

Un triángulo tiene lados $3,4,5$ cm. Halla todos sus ángulos.

U05-38

Con $A=30^\circ$ , $a=6$ , $b=10$ cm, determina cuántos triángulos existen y sus ángulos restantes.

U05-39

¿Existe un triángulo con $A=30^\circ$ , $a=2$ y $b=6$ cm? Justifica.

U05-40

En un triángulo, $A=40^\circ$ , $B=65^\circ$ , $a=8$ cm. Calcula $C,b,c$ .

5.10 Calculadora y herramientas digitales

U05-41

La calculadora en radianes no devuelve $0{,}5$ al calcular $\sin30$ . Explica cómo corregirlo de dos maneras.

U05-42

Calcula el ángulo agudo cuyo coseno es $0{,}8$ . Indica la función y la unidad.

U05-43

En GeoGebra, una homotecia con $k=2$ cambia un área de $7$ a $28$ . ¿Prueba esto la regla para todo $k$ ? Explica.

Práctica global

U05-G01

Una maqueta de un depósito tiene volumen $24$ cm $^3$ a escala $1:50$ . Halla el volumen real en m $^3$ .

U05-G02

Una persona de $1{,}8$ m y un poste proyectan sombras de $1{,}2$ y $8$ m simultáneamente en terreno horizontal. Halla la altura del poste.

U05-G03

En un triángulo rectángulo las proyecciones son $4$ y $9$ cm. Halla los cuatro elementos $c,h,a,b$ .

U05-G04

Calcula exactamente $\sin(-150^\circ)$ , $\cos225^\circ$ y $\tan300^\circ$ .

U05-G05

Si $\sin\alpha=-5/13$ y $\alpha$ está en III, calcula coseno y tangente.

U05-G06

Desde $20$ m horizontales del pie de un edificio se observa su parte superior a $40^\circ$ con ojos a $1{,}6$ m. Halla la altura.

U05-G07

Dos caminos de $80$ y $100$ m salen del mismo punto con ángulo de $60^\circ$ . Halla la distancia entre sus extremos y el área del triángulo.

U05-G08

En un triángulo, $A=30^\circ$ , $a=5$ y $b=8$ cm. Estudia todas las soluciones y halla los lados restantes.

Razonamiento matemático

5.11 Problemas integrados y síntesis

U05-44

Una torre se representa con $8$ cm en una maqueta $1:150$ . ¿Qué altura real tiene? Si se observa desde $12$ m horizontales a nivel del suelo, ¿cuál es el ángulo de elevación?

U05-45

¿Pueden $2$ , $3$ y $6$ cm ser los lados de un triángulo? Indica qué comprobación debe preceder al coseno.

U05-46

Un alumno usa el teorema del seno con dos lados y un ángulo comprendido. ¿Qué teorema permite obtener directamente el tercer lado?

Formulario visual

Teorema de Tales, criterios de semejanza, escalas y cálculo de alturas con sombras — **Tales y semejanza**Ver en tamaño completo

Semejanza y triángulos rectángulos

Razón $k=\text{nueva longitud}/\text{original}$ . Longitudes y perímetros: factor $k$ ; áreas: $k^2$ ; volúmenes de cuerpos semejantes: $k^3$ . Convertir unidades antes de formar razones. Tales exige paralelismo y segmentos correspondientes. Criterios de semejanza: AA, LLL y LAL con ángulo comprendido.

Hipotenusa $c=p+q$ , proyecciones $p,q$ , catetos correspondientes $a,b$ , altura $h$ : $a^2=cp,\quad b^2=cq,\quad h^2=pq,\quad a^2+b^2=c^2,\quad ab=ch.$

Ángulos y razones

$180^\circ=\pi$ rad. De grados a radianes: multiplicar por $\pi/180$ ; de radianes a grados: por $180/\pi$ . Coterminales: diferencia $360^\circ k$ o $2\pi k$ . $\sin\alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}},\quad\cos\alpha=\frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}},\quad\tan\alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{contiguo}}.$ En la circunferencia unidad, $P=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ . Signos $(\sin,\cos,\tan)$ : I $(+,+,+)$ ; II $(+,-,-)$ ; III $(-,-,+)$ ; IV $(-,+,-)$ . Los ejes se estudian por sus coordenadas. Tangente no definida si $\cos\alpha=0$ .

	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin$	$1/2$	$\sqrt2/2$	$\sqrt3/2$
$\cos$	$\sqrt3/2$	$\sqrt2/2$	$1/2$
$\tan$	$\sqrt3/3$	$1$	$\sqrt3$

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\quad(\cos\alpha\ne0).$

Triángulos cualesquiera

Lado $a$ opuesto a $A$ , etc.; $A+B+C=180^\circ$ . $\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C},\quad a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,\quad S=\frac12bc\sin A.$ Dos ángulos y un lado: seno. Dos lados y ángulo comprendido o tres lados: coseno. Con $A,a,b$ , estudiar $q=b\sin A/a$ : si $q>1$ , imposible; si $0<q\le1$ , revisar $B=\arcsin q$ y $180^\circ-B$ , conservando solo los distintos que cumplan $A+B<180^\circ$ .

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