Tema 4 · 4.º ESO

Inecuaciones

Consultar el formulario visual · Ir a la práctica

4.1 Desigualdades y propiedades del orden

Una solución puede ser un conjunto

Una inecuación compara expresiones mediante $<,>,\le,\ge$ y pide todos los valores que hacen cierta esa comparación. La solución no suele ser un único número, sino un conjunto. Se comprueba sustituyendo valores del conjunto y valores que deban quedar fuera.

Transformaciones permitidas

Sumar o restar la misma cantidad conserva el sentido. Multiplicar o dividir por una constante positiva también lo conserva; si la constante es negativa, se invierte.

Por qué se invierte

Si $a<b$ , la diferencia $b-a$ es positiva. Para $c<0$ , el producto $(b-a)(-c)>0$ , lo que equivale a $ac>bc$ . No es una regla de memoria sin justificación.

4.2 Intervalos, recta real y extremos

Escribir el conjunto solución

Un corchete incluye el extremo; un paréntesis lo excluye. El infinito siempre lleva paréntesis. La intersección exige cumplir simultáneamente dos condiciones; la unión permite cumplir cualquiera de ellas.

Condición	Intervalo
$-2<x\le5$	$(-2,5]$
$x\le3$	$(-\infty,3]$
$x>1$	$(1,+\infty)$
$x<0$ o $x\ge4$	$(-\infty,0)\cup[4,+\infty)$

Extremos, puntos aislados y conjunto vacío

Un punto aislado se escribe $\{a\}$ . No tiene sentido escribir $(a,a)$ para incluir ese punto: ese intervalo es vacío. Las soluciones pueden ser $\mathbb R$ , $\varnothing$ , un intervalo, varias partes o un conjunto finito.

4.3 Inecuaciones de primer grado

Reducir y despejar

Elimina paréntesis y reúne términos. Si aparecen denominadores numéricos positivos, se puede multiplicar por su mínimo común múltiplo sin invertir la desigualdad. El paso decisivo es el signo del coeficiente por el que se divide al final.

Cuando desaparece la incógnita

$2(x+1)>2x+1$ se reduce a $2>1$ , verdadera: $\mathbb R$ . $2(x+1)<2x+1$ queda $2<1$ , falsa: $\varnothing$ . No se escribe $x=0$ ni se divide por cero.

4.4 Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Cada condición aporta un conjunto

Un sistema exige que todas las inecuaciones se cumplan. Se resuelve cada una, se representa su conjunto y se toma la intersección. No se mezclan los extremos sin comprobar qué condición es la más restrictiva.

Intersección de las condiciones x ≥ 2 y x < 5

Intervalo vacío y punto único

$x>4$ junto con $x\le1$ es imposible. $x\ge2$ junto con $x\le2$ solo permite $x=2$ . La igualdad de los extremos no significa necesariamente que no haya solución: depende de si están incluidos.

4.5 Segundo grado: una recta y sustitución en el original

El método que utilizaremos

Para estudiar $P(x)\square0$ :

Reúne todos los términos en un miembro y conserva el polinomio original completo.
Resuelve $P(x)=0$ para localizar sus raíces reales y colócalas, ordenadas, en una única recta.
Elige un número sencillo dentro de cada intervalo y sustitúyelo en el polinomio original, no en factores a los que se haya podido omitir un coeficiente.
Escribe el signo obtenido sobre esa misma recta. En cada intervalo sin raíces el polinomio conserva el signo.
Selecciona los intervalos que cumplen la desigualdad y decide si se incluyen las raíces.

No multiplicaremos signos de factores en este estudio polinómico. La factorización puede ayudar a encontrar raíces, pero no se usa como tabla de signos por factores.

Ejemplo con coeficiente principal negativo

Una recta con raíces 2 y 3 y signos −, +, −

Intervalo	$(-\infty,2)$	$(2,3)$	$(3,+\infty)$
Valor elegido	$0$	$5/2$	$4$
$P(x)=-2x^2+10x-12$	$-12$	$1/2$	$-4$
Signo	$-$	$+$	$-$

Se selecciona la zona positiva y, como se admite igualdad, las dos raíces: $[2,3]$ .

Raíz doble y ausencia de raíces

Para $P(x)=(x-2)^2$ , la única raíz es $2$ y se prueba a cada lado: $P(1)=1$ , $P(3)=1$ . El signo no alterna. Para $x^2+4x+5$ , no hay raíces reales; basta un valor, por ejemplo $P(0)=5>0$ , para conocer el signo de toda la recta. No se inventan puntos de corte.

4.6 Polinomios de grado superior: mismo método

Localizar raíces y conservar la expresión

Se pueden usar factor común, identidades o Ruffini para hallar las raíces. Se escriben todas las raíces reales distintas en una sola recta y se elige un punto en cada intervalo. Aunque una raíz sea doble, se comprueba el signo a ambos lados, sin imponer una alternancia automática.

Una recta con raíces −2, 0 y 2 y signos +, −, +, −

Prueba	$-3$	$-1$	$1$	$3$
$-2x^3+8x$	$30$	$-6$	$6$	$-30$
Signo	$+$	$-$	$+$	$-$

La solución es $(-\infty,-2]\cup[0,2]$ . No se han multiplicado signos de factores.

Ejemplo con una raíz repetida

Para $Q(x)=x^3+x^2-5x+3=(x-1)^2(x+3)$ , las raíces son $-3$ y $1$ . Probamos en el original $-4,0,2$ : $-25,3,5$ . En $Q\le0$ se incluye $(-\infty,-3]$ y además el punto aislado $\{1\}$ , aunque a ambos lados de $1$ el signo sea positivo.

4.7 Inecuaciones racionales: numerador y denominador separados

Dominio y puntos de separación

En $N(x)/D(x)\square0$ , los ceros del denominador se excluyen siempre. Hallamos los ceros reales del numerador y del denominador y usamos la misma partición de intervalos para ambos estudios.

Tabla del numerador: sustituir un valor de cada intervalo en $N$ original y anotar el signo.
Tabla del denominador: usar los mismos intervalos y sustituir en $D$ original.
Combinar signos: iguales dan positivo y distintos, negativo. Aquí sí se combinan los signos de numerador y denominador, porque el signo de un cociente es su producto.
Revisar por separado los ceros y las exclusiones. Si un factor se cancela, el valor excluido de la expresión original sigue excluido.

Ejemplo completo

Resolver $\dfrac{-x^2+4}{x-1}\ge0$ . Numerador con ceros $-2,2$ ; denominador con cero $1$ , excluido. Los puntos ordenados son $-2,1,2$ .

Puntos críticos −2, 1 y 2, con 1 excluido

Tabla del numerador: $N(x)=-x^2+4$

Intervalo	$(-\infty,-2)$	$(-2,1)$	$(1,2)$	$(2,+\infty)$
Prueba	$-3$	$0$	$3/2$	$3$
$N(x)$	$-5$	$4$	$7/4$	$-5$
Signo de $N$	$-$	$+$	$+$	$-$

Tabla del denominador: $D(x)=x-1$

Intervalo	$(-\infty,-2)$	$(-2,1)$	$(1,2)$	$(2,+\infty)$
Prueba	$-3$	$0$	$3/2$	$3$
$D(x)$	$-4$	$-1$	$1/2$	$2$
Signo de $D$	$-$	$-$	$+$	$+$

Combinación de signos

Intervalo	$(-\infty,-2)$	$(-2,1)$	$(1,2)$	$(2,+\infty)$
$N/D$	$+$	$-$	$+$	$-$

La solución es $(-\infty,-2]\cup(1,2]$ . Los ceros $-2,2$ son admisibles y se incluyen; $1$ nunca se incluye.

Una constante en el otro miembro

Para $x/(x-1)\le2$ , con $x\ne1$ , llevar todo a un miembro produce $(2-x)/(x-1)\le0$ . El estudio sigue separando numerador y denominador. Esta reducción se explica en inecuaciones; no introduce sumas de fracciones en las ecuaciones racionales de U3.

4.8 Inecuaciones lineales con dos incógnitas: semiplanos

La frontera es una recta

En $ax+by\le c$ , la igualdad $ax+by=c$ delimita dos semiplanos. Se dibuja la recta y se comprueba un punto que no esté sobre ella, frecuentemente $(0,0)$ . Si cumple la desigualdad, se elige su lado; si no, el opuesto. La frontera se incluye para $\le,\ge$ y se dibuja continua. Para $<,>$ se excluye y se dibuja discontinua.

Fronteras verticales y horizontales

$x\ge2$ selecciona el lado derecho de la recta vertical $x=2$ ; $y<3$ , el lado inferior de $y=3$ , excluyendo la frontera. No siempre se puede o conviene despejar $y$ .

4.9 Sistemas con dos incógnitas: región solución

Intersección de semiplanos

La región solución contiene los puntos que cumplen todas las restricciones. Se dibuja cada frontera, se identifica su semiplano y se conserva la zona común. La región puede ser acotada, no acotada o vacía.

Región solución con vértices (0,0), (4,0), (4,2) y (0,6)

Interpretar en contexto

Si $x,y$ cuentan objetos, las soluciones son puntos de coordenadas enteras de la región. El dibujo continuo permite visualizar las restricciones, pero no convierte medio objeto en una solución del problema. No se incluye programación lineal con función objetivo ni búsqueda de máximos y mínimos. Se estudia la región de viabilidad y la pertenencia de puntos.

4.10 Problemas de presupuestos, capacidad y medidas

Traducir expresiones habituales

Como máximo se traduce por $\le$ ; al menos, por $\ge$ ; menos de, por $<$ ; más de, por $>$ . Añade restricciones de signo, integridad o unidades. El mayor valor entero admisible puede ser diferente del extremo real.

Viabilidad sin optimización

Si se compran $x$ objetos de $3$ euros y $y$ de $5$ , con presupuesto $30$ y capacidad de ocho objetos, las condiciones son $3x+5y\le30$ , $x+y\le8$ , $x,y\ge0$ enteros. Comprobar una propuesta exige verificar todas las restricciones.

Uso de la calculadora

Comprobar un polinomio

En la fx-991SP CW abre HOME, Inecuación; en fx-570SP X II, MENU, Inecuación. Para las inecuaciones polinómicas admitidas por la aplicación, selecciona grado y tipo de desigualdad e introduce todos los coeficientes con sus signos. No sustituyas la tabla razonada por la salida de la máquina. Para $-2x^2+10x-12\ge0$ , introduce $-2,10,-12$ y elige $\ge0$ . Se espera $2\le x\le3$ . También puedes usar Tabla o Calcular para verificar los valores $P(0),P(5/2),P(4)$ .

Numerador y denominador en columnas distintas

En una hoja de cálculo, escribe valores de prueba y calcula $N(x)$ y $D(x)$ en columnas separadas. Marca primero los puntos donde $D=0$ . No se interpreta un error de división por cero como un extremo que pueda incluirse.

Explora con GeoGebra

Introduce las desigualdades con sus signos, por ejemplo x >= 0, y >= 0, x + y <= 6, x <= 4. Para localizar vértices se pueden introducir además las rectas frontera y usar Intersección. Comprueba sus coordenadas en las desigualdades originales. El color mostrado no sustituye la decisión sobre fronteras estrictas, valores excluidos o puntos enteros. Las funciones de las calculadoras se han contrastado documentalmente, sin prueba en hardware; los ejemplos de GeoGebra son instrucciones y esquemas, no capturas de una sesión ejecutada.

Abrir GeoGebra Clásico

Práctica con comprobación

4.1 Desigualdades y propiedades del orden

U04-01

Resuelve $-2x+3\ge9$ y comprueba un valor interior y otro exterior.

U04-02

Si $a<b$ y $c<0$ , compara $ac$ y $bc$ . Ilustra con $a=-5,b=-2,c=-5$ .

U04-03

¿Es válido multiplicar $1/(x-1)>0$ por $x-1$ manteniendo siempre el sentido?

4.2 Intervalos, recta real y extremos

U04-04

Expresa $-2<x\le5$ y $x\ge3$ en intervalos.

U04-05

Calcula $[-3,4)\cap(1,7]$ y $(-\infty,2]\cup(0,5)$ .

U04-06

Escribe el conjunto formado solo por $x=2$ y explica por qué $(2,2)$ no sirve.

4.3 Inecuaciones de primer grado

U04-07

Resuelve $3(2x-1)-4\le2(x+5)$ .

U04-08

Resuelve $5-3x>11$ .

U04-09

Resuelve $(x-1)/2>3$ .

U04-10

Resuelve $2(x+1)>2x+1$ y $2(x+1)<2x+1$ .

4.4 Sistemas de inecuaciones con una incógnita

U04-11

Resuelve el sistema $2x-1\ge3$ , $3x+2<17$ .

U04-12

Resuelve $x>4$ , $x\le1$ .

U04-13

Resuelve $2x\ge4$ , $x+1\le3$ .

U04-14

Resuelve $-2x<6$ , $x-1\le4$ .

4.5 Segundo grado: una recta y sustitución en el original

U04-15

Resuelve $x^2-9>0$ usando la recta y valores de prueba en el original.

U04-16

Resuelve $-2x^2+10x-12\ge0$ .

U04-17

Resuelve $x^2-4x\le0$ .

U04-18

Resuelve $-(x-2)^2\ge0$ y $-(x-2)^2<0$ mediante valores a ambos lados de $2$ .

U04-19

Resuelve $x^2+4x+5>0$ .

4.6 Polinomios de grado superior: mismo método

U04-20

Resuelve $-2x^3+8x\ge0$ sin multiplicar signos de factores.

U04-21

Resuelve $x^3-4x\ge0$ .

U04-22

Resuelve $x^3+x^2-5x+3\le0$ , sabiendo que sus raíces son $-3$ y $1$ , esta última doble.

U04-23

Resuelve $x^4-2x^2+1>0$ con pruebas en la expresión original.

4.7 Inecuaciones racionales: numerador y denominador separados

U04-24

Resuelve $(x-2)/(x+1)>0$ con estudios separados.

Intervalo izquierdoIntervalo derechoExplica tu procedimiento

Solución razonada

Puntos $-1,2$ . Pruebas $-2,0,3$ . Numerador: $-4,-2,1$ ; denominador: $-1,1,4$ . Cociente: $+,-,+$ . Se excluye $-1$ por dominio y $2$ por desigualdad estricta.

Resultado. $(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$ .

Numerador

Intervalo	$(-\infty,-1)$	$(-1,2)$	$(2,+\infty)$
Prueba	$-2$	$0$	$3$
Valor	$-4$	$-2$	$1$
Signo	$-$	$-$	$+$

Denominador

Intervalo	$(-\infty,-1)$	$(-1,2)$	$(2,+\infty)$
Prueba	$-2$	$0$	$3$
Valor	$-1$	$1$	$4$
Signo	$-$	$+$	$+$

Intervalo	$(-\infty,-1)$	$(-1,2)$	$(2,+\infty)$
Signo del cociente	$+$	$-$	$+$

U04-25

Resuelve $(-x^2+4)/(x-1)\ge0$ .

Intervalo izquierdoIntervalo derechoExplica tu procedimiento

Solución razonada

Puntos $-2,1,2$ . Numerador evaluado en $-3,0,3/2,3$ : $-5,4,7/4,-5$ . Denominador: $-4,-1,1/2,2$ . Cociente $+,-,+,-$ . Se incluyen $-2,2$ y se excluye $1$ .

Resultado. $(-\infty,-2]\cup(1,2]$ .

Numerador

Intervalo	$(-\infty,-2)$	$(-2,1)$	$(1,2)$	$(2,+\infty)$
Prueba	$-3$	$0$	$3/2$	$3$
Valor	$-5$	$4$	$7/4$	$-5$
Signo	$-$	$+$	$+$	$-$

Denominador

Intervalo	$(-\infty,-2)$	$(-2,1)$	$(1,2)$	$(2,+\infty)$
Prueba	$-3$	$0$	$3/2$	$3$
Valor	$-4$	$-1$	$1/2$	$2$
Signo	$-$	$-$	$+$	$+$

Intervalo	$(-\infty,-2)$	$(-2,1)$	$(1,2)$	$(2,+\infty)$
Signo del cociente	$+$	$-$	$+$	$-$

U04-26

Resuelve $(x^2-1)/(x-1)\le0$ conservando el dominio original.

IntervaloExplica tu procedimiento

Solución razonada

$x\ne1$ ; puntos $-1,1$ . Pruebas $-2,0,2$ . Numerador: $3,-1,3$ ; denominador: $-3,-1,1$ . Cociente: $-,+,+$ . Se incluye $-1$ , no $1$ .

Resultado. $(-\infty,-1]$ .

Numerador

Intervalo	$(-\infty,-1)$	$(-1,1)$	$(1,+\infty)$
Prueba	$-2$	$0$	$2$
Valor	$3$	$-1$	$3$
Signo	$+$	$-$	$+$

Denominador

Intervalo	$(-\infty,-1)$	$(-1,1)$	$(1,+\infty)$
Prueba	$-2$	$0$	$2$
Valor	$-3$	$-1$	$1$
Signo	$-$	$-$	$+$

Intervalo	$(-\infty,-1)$	$(-1,1)$	$(1,+\infty)$
Signo del cociente	$-$	$+$	$+$

U04-27

Resuelve $(x-2)^2/(x+1)\le0$ .

IntervaloPunto aisladoExplica tu procedimiento

Solución razonada

Puntos $-1,2$ . Pruebas $-2,0,3$ . Numerador: $16,4,1$ ; denominador: $-1,1,4$ . Cociente $-,+,+$ . Además el numerador se anula en $2$ , admisible, que se añade como punto aislado.

Resultado. $(-\infty,-1)\cup\{2\}$ .

Numerador

Intervalo	$(-\infty,-1)$	$(-1,2)$	$(2,+\infty)$
Prueba	$-2$	$0$	$3$
Valor	$16$	$4$	$1$
Signo	$+$	$+$	$+$

Denominador

Intervalo	$(-\infty,-1)$	$(-1,2)$	$(2,+\infty)$
Prueba	$-2$	$0$	$3$
Valor	$-1$	$1$	$4$
Signo	$-$	$+$	$+$

Intervalo	$(-\infty,-1)$	$(-1,2)$	$(2,+\infty)$
Signo del cociente	$-$	$+$	$+$

U04-28

Resuelve $x/(x-1)\le2$ .

Intervalo izquierdoIntervalo derechoExplica tu procedimiento

Solución razonada

$x\ne1$ . La expresión equivalente es $(2-x)/(x-1)\le0$ . En $0,3/2,3$ , numerador $2,1/2,-1$ y denominador $-1,1/2,2$ ; signos $-,+,-$ . El cero $2$ se incluye y $1$ se excluye.

Resultado. $(-\infty,1)\cup[2,+\infty)$ .

Numerador

Intervalo	$(-\infty,1)$	$(1,2)$	$(2,+\infty)$
Prueba	$0$	$3/2$	$3$
Valor	$2$	$1/2$	$-1$
Signo	$+$	$+$	$-$

Denominador

Intervalo	$(-\infty,1)$	$(1,2)$	$(2,+\infty)$
Prueba	$0$	$3/2$	$3$
Valor	$-1$	$1/2$	$2$
Signo	$-$	$+$	$+$

Intervalo	$(-\infty,1)$	$(1,2)$	$(2,+\infty)$
Signo del cociente	$-$	$+$	$-$

4.8 Inecuaciones lineales con dos incógnitas: semiplanos

U04-29

Describe y representa el semiplano $x+y\le4$ . ¿Pertenecen $(0,0)$ , $(3,2)$ y $(2,2)$ ?

U04-30

Describe $x\ge2$ y $y<3$ , indicando el tipo de frontera.

U04-31

Para $2x-y>1$ , indica qué lado de la frontera debe elegirse.

4.9 Sistemas con dos incógnitas: región solución

U04-32

Halla los vértices de $x\ge0,y\ge0,x+y\le6,x\le4$ .

U04-33

En la región anterior, comprueba $(3,2)$ , $(5,0)$ y $(2,5)$ .

U04-34

Describe el sistema $x\ge0,y\ge0,x+y<4$ cuando $x,y$ cuentan objetos. ¿Sirve $(2,2)$ ?

4.11 Calculadora y GeoGebra: comprobación del estudio

U04-39

Indica los coeficientes y el signo que introducirías para comprobar $-2x^2+10x-12\ge0$ .

U04-40

Una pantalla muestra la región $x\ge0,y\ge0,x+y\le6,x\le4$ . ¿Basta su color para afirmar que $(5,0)$ sirve?

Práctica global

U04-G01

Resuelve $4-2x\le10$ .

U04-G02

Resuelve el sistema $x+2>0$ , $2x\le6$ .

U04-G03

Resuelve $-x^2+6x-8\ge0$ con valores de prueba en el original.

U04-G04

Resuelve $(x-1)^2\le0$ .

U04-G05

Resuelve $(x+2)/(x-3)\ge0$ con dos tablas separadas.

Intervalo izquierdoIntervalo derechoExplica tu procedimiento

Solución razonada

Puntos $-2,3$ . Pruebas $-3,0,4$ : numerador $-1,2,6$ y denominador $-6,-3,1$ , signos del cociente $+,-,+$ . Se incluye $-2$ y se excluye $3$ .

Numerador

Intervalo	$(-\infty,-2)$	$(-2,3)$	$(3,+\infty)$
Prueba	$-3$	$0$	$4$
Valor	$-1$	$2$	$6$
Signo	$-$	$+$	$+$

Denominador

Intervalo	$(-\infty,-2)$	$(-2,3)$	$(3,+\infty)$
Prueba	$-3$	$0$	$4$
Valor	$-6$	$-3$	$1$
Signo	$-$	$-$	$+$

Intervalo	$(-\infty,-2)$	$(-2,3)$	$(3,+\infty)$
Signo del cociente	$+$	$-$	$+$

Resultado: $(-\infty,-2]\cup(3,+\infty)$ .

U04-G06

Resuelve $-x^2-1<0$ .

U04-G07

Comprueba $(1,2)$ y $(3,3)$ en $x\ge0,y\ge0,x+y\le4$ .

U04-G08

Una compra tiene $12$ euros de envío y cada libro cuesta $8$ euros. Con $70$ euros, ¿cuántos libros como máximo?

Razonamiento matemático

4.10 Problemas de presupuestos, capacidad y medidas

U04-35

Una actividad cuesta $20$ euros fijos y $15$ por persona. Con $155$ euros, ¿cuántas personas como máximo?

U04-36

Un vehículo admite $750$ kg. Conduce una persona de $75$ kg y cada caja pesa $28$ kg. ¿Cuántas cajas como máximo?

U04-37

Un rectángulo de lados $x$ y $10-x$ m debe tener área al menos $21$ m $^2$ . Halla $x$ .

U04-38

Se compran objetos de $3$ y $5$ euros con presupuesto de $30$ euros y máximo ocho objetos. Plantea el sistema y comprueba $(x,y)=(5,3)$ y $(4,2)$ .

Formulario visual

Propiedades y conjuntos

Sumar o restar la misma cantidad conserva la desigualdad. Multiplicar o dividir por una constante positiva conserva el sentido; si es negativa, lo invierte. Con una expresión de signo desconocido no se multiplica sin separar los casos pertinentes.

Paréntesis: extremo excluido; corchete: incluido. Infinito siempre abierto. Sistema: intersección; alternativas: unión. Un punto aislado se escribe $\{a\}$ .

Inecuaciones polinómicas: método acordado

Llevar a $P(x)\square0$ y conservar el polinomio original reducido completo.
Localizar todas sus raíces reales y ordenarlas en una única recta.
Elegir un punto de cada intervalo y sustituirlo en el original, con su coeficiente principal.
Anotar el signo sobre la recta, sin multiplicar signos de factores.
Seleccionar intervalos; incluir las raíces para $\le,\ge$ , cuando corresponda.

Las raíces dobles pueden no cambiar el signo: se comprueba. Si no hay raíces, el signo es constante en toda la recta. Una inecuación no estricta puede incluir puntos aislados.

Racionales: dos estudios separados

En $N(x)/D(x)\square0$ , excluir siempre $D(x)=0$ . Unificar los intervalos delimitados por ceros de $N$ y $D$ . Hacer una tabla para $N$ y otra para $D$ , sustituyendo en sus expresiones originales. Combinar después: signos iguales dan positivo, distintos negativo. Aquí sí se multiplican los signos de numerador y denominador.

Los ceros de $N$ se incluyen solo si la desigualdad admite igualdad y $D\ne0$ . Los ceros de $D$ nunca se incluyen, aunque se pueda cancelar un factor.

Dos incógnitas y contexto

Dibujar recta frontera, probar un punto y elegir semiplano. Frontera continua para $\le,\ge$ ; discontinua para $<,>$ . En sistemas, intersecar semiplanos y verificar cada vértice o propuesta. Si las variables cuentan objetos, seleccionar puntos enteros no negativos. No se incluye optimización mediante programación lineal.

Consultar esquemas del tema

Apuntes en PDF

Abrir apuntes del alumnado en PDF