Ecuaciones y sistemas

3.1 Ecuaciones: soluciones y equivalencia

Qué significa resolver

Una ecuación es una igualdad que contiene incógnitas. Una solución es un valor que hace verdaderos ambos miembros y para el que están definidas todas las operaciones. El conjunto solución recoge todos esos valores, no solo el primero encontrado.

Identidad, contradicción y transformación equivalente

$2(x+1)=2x+2$ es una identidad: se verifica para todos los reales. $x+1=x+3$ es una contradicción: conduce a $1=3$. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente el mismo conjunto solución. Sumar la misma expresión definida en ambos miembros o multiplicarlos por una constante no nula conserva las soluciones. Dividir por una expresión con incógnita requiere comprobar que no sea cero; de lo contrario se pueden perder soluciones.

3.2 Ecuaciones de primer grado

Un procedimiento ordenado

Elimina paréntesis, reduce términos semejantes y reúne incógnitas y números. Una ecuación lineal termina en $ax=b$. Si $a\ne0$, $x=b/a$. Si $a=0$, se comprueba si la igualdad numérica es verdadera o imposible.

Denominadores numéricos

Aquí los denominadores son constantes no nulas. Podemos multiplicar ambos miembros por su mínimo común múltiplo. No son ecuaciones racionales con la incógnita en el denominador.

Detectar casos especiales

Si desaparece la incógnita, no se puede dividir por cero. Por ejemplo, $2(x+1)=2x+5$ lleva a $2=5$ y no tiene solución; $3(x-2)=3x-6$ es una identidad.

3.3 Segundo grado: fórmula, clasificación y significado gráfico

Forma general y fórmula

Una ecuación de segundo grado se escribe $ax^2+bx+c=0$, con $a\ne0$. Antes de identificar $a,b,c$ hay que pasar todos los términos a un miembro y reducir. Se calcula $$\Delta=b^2-4ac,\qquad x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}.$$ El denominador $2a$ divide a todo el numerador. Si falta un término, su coeficiente es cero.

Número de soluciones reales

Una raíz doble cuenta como una única solución real distinta. La parábola abre hacia arriba si $a>0$ y hacia abajo si $a<0$; la apertura no cambia el significado del número de cortes.

Las curvas representadas son $y=(x-1)^2-1$, $y=(x-1)^2$ y $y=(x-1)^2+1$, respectivamente.

Ecuaciones incompletas

Si $c=0$, se saca factor común: $ax^2+bx=x(ax+b)$. Si $b=0$, se despeja $x^2=-c/a$: según el signo de ese valor aparecen dos, una o ninguna solución real.

3.4 Relaciones de Cardano–Viète y aplicaciones

Suma y producto de las raíces

Si $ax^2+bx+c=0$ tiene raíces reales $x_1,x_2$, contando la doble dos veces, entonces $$x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca.$$ En efecto, $a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2$. Al comparar coeficientes aparecen las relaciones. Aquí se estudian estas relaciones de segundo grado, no las fórmulas de resolución de cúbicas.

Construir una ecuación

Con raíces $r,s$, una ecuación mónica es $x^2-(r+s)x+rs=0$. Multiplicar toda la ecuación por una constante no nula conserva las soluciones.

Conocer una raíz y hallar la otra

Se pueden usar las relaciones para números cuya suma y producto se conocen, para hallar un parámetro o para verificar una solución calculada. Si una ecuación no tiene raíces reales, no se interpretan como dos medidas reales de un problema.

3.5 Ecuaciones de grado superior y bicuadradas

Factorizar sin perder raíces

Una ecuación $P(x)=0$ puede resolverse factorizando. Localizamos raíces mediante identidades, factor común o Ruffini y aplicamos el producto nulo. No dividimos por un factor sin estudiar cuándo vale cero.

Bicuadradas

En $ax^4+bx^2+c=0$ hacemos $t=x^2\ge0$. Se resuelve la cuadrática en $t$ y se vuelve a $x$. Un $t>0$ produce $\pm\sqrt t$; $t=0$ produce $x=0$; un $t<0$ no produce soluciones reales.

3.6 Ecuaciones racionales: una fracción en cada miembro

Alcance de este capítulo

Se trabaja solamente $A(x)/B(x)=k$ o $A(x)/B(x)=C(x)/D(x)$. Cada miembro contiene una única fracción o un número. No se plantean sumas ni restas de fracciones algebraicas ni se necesita buscar un denominador común.

Multiplicación en cruz y restricciones

Primero se exige $B(x)\ne0$ y, cuando lo haya, $D(x)\ne0$. Después: $$\frac{A(x)}{B(x)}=k\ \Longleftrightarrow\ A(x)=kB(x),\qquad \frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{D(x)}\ \Longleftrightarrow\ A(x)D(x)=B(x)C(x),$$ siempre dentro del dominio inicial. Un número $k$ puede interpretarse como $k/1$.

Candidatas excluidas e identidades restringidas

3.7 Ecuaciones con radicales

Condiciones antes de elevar al cuadrado

La raíz cuadrada es no negativa. En $\sqrt{A(x)}=B(x)$ se necesita $A(x)\ge0$ y $B(x)\ge0$. Elevar al cuadrado genera una ecuación de candidatas; se comprueba cada una en la original.

Cuando el radical no está aislado

3.8 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Igualar bases o aplicar logaritmos

Para $a>0$, $a\ne1$, $a^u=a^v$ implica $u=v$. Si no se puede escribir ambos miembros con la misma base, se usa el cambio de base.

Argumentos positivos

En una ecuación logarítmica cada argumento debe ser positivo antes de aplicar propiedades. La suma de logaritmos puede convertirse en el logaritmo del producto, pero el dominio original se conserva.

Las sumas de logaritmos de este apartado no son sumas de fracciones algebraicas; se mantiene la restricción acordada para las ecuaciones racionales.

3.9 Sistemas lineales de dos ecuaciones

Sustitución, igualación y reducción

Resolver un sistema exige una pareja que verifique a la vez las dos ecuaciones. Puede elegirse el método más eficiente según sus coeficientes.

Interpretación gráfica y clasificación

En los sistemas considerados, cada ecuación con al menos un coeficiente no nulo representa una recta. Rectas secantes: SCD, una pareja. Coincidentes: SCI, infinitas parejas. Paralelas distintas: SI, ninguna pareja.

3.10 Sistemas no lineales sencillos

Sustituir y recuperar cada pareja

Al aparecer productos, cuadrados u otras relaciones, el sistema puede tener más de una pareja solución. Una raíz de la ecuación reducida todavía no es una pareja completa: se recupera la otra incógnita y se comprueban ambas ecuaciones.

Conectar con Viète y la geometría

Si se conoce suma $S$ y producto $P$, los valores de $x,y$ son raíces de $t^2-St+P=0$. En sistemas como $x^2+y^2=25$ y $x+y=7$, la identidad $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ da $49=25+2xy$, por tanto $xy=12$ y las parejas son $(3,4),(4,3)$.

3.11 Problemas contextualizados

Del enunciado a las ecuaciones

Identifica incógnitas y unidades; traduce todas las condiciones; resuelve; descarta lo incompatible con el contexto y redacta una respuesta. Las edades, longitudes o cantidades de objetos pueden imponer restricciones adicionales.

Movimiento sin sumas de fracciones algebraicas

Se usarán relaciones $d=vt$ o sistemas con tiempos comunes. Si aparece una velocidad desconocida en un denominador, se limitará a una sola fracción igualada a un número, conforme al alcance aprobado.

Tarea en parejas

Una persona propone el modelo y otra revisa cada condición; después intercambian roles. Registrad un error detectado y su corrección. La contribución individual se observa en el proceso, no se deduce solo del resultado final.

3.12 Calculadora: resolver y comprobar

Ecuaciones polinómicas

En fx-991SP CW: HOME, Ecuación, Polinómica; en fx-570SP X II: MENU, Ecuación/Func, Polinómica. Selecciona segundo grado e introduce $a,b,c$ de la forma $ax^2+bx+c=0$. Para $2x^2-5x-3=0$, los datos son $2,-5,-3$; se esperan $3,-1/2$.

Sistemas lineales

En las mismas aplicaciones de ecuaciones, elige el tipo de sistema lineal con dos incógnitas. Introduce los coeficientes de $ax+by=c$, fila por fila. Para $2x+y=11$, $x-y=1$, las filas son $(2,1,11)$ y $(1,-1,1)$: resultado $(4,3)$.

Interpretar la salida

La máquina no decide si una raíz negativa sirve como longitud ni conserva por ti las restricciones de una ecuación racional transformada. Tampoco hay que aceptar una candidata de una ecuación con radicales sin comprobarla. En las aplicaciones de resolución numérica, encontrar una raíz no certifica que se hayan encontrado todas.

Registro de comprobación

Anota ecuación original, coeficientes introducidos, salida y comprobación. Compara suma y producto con Viète. Las funciones y accesos básicos se han contrastado con documentación oficial; no se han probado en hardware físico.

Explora con GeoGebra

Representa y=2x²−5x−3 y y=0. Compara las abscisas de los cortes con las raíces que obtienes por la fórmula. Repite con y=x²−4x+4 y explica por qué solo hay un punto común.

Abrir GeoGebra Calculadora Gráfica

Práctica autocorregible

Escribe las expresiones desarrolladas en orden descendente, con ^ para los exponentes. Separa con punto y coma los valores de un conjunto.

3.1 Ecuaciones: soluciones y equivalencia

3.2 Ecuaciones de primer grado

3.3 Segundo grado: fórmula, clasificación y significado gráfico

3.4 Relaciones de Cardano–Viète y aplicaciones

3.5 Ecuaciones de grado superior y bicuadradas

3.6 Ecuaciones racionales: una fracción en cada miembro

3.7 Ecuaciones con radicales

3.8 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

3.9 Sistemas lineales de dos ecuaciones

3.10 Sistemas no lineales sencillos

3.12 Calculadora: resolver y comprobar

Razonamiento matemático

3.11 Problemas contextualizados

Formulario y mapa de resolución

Localiza la regla que necesitas y fíjate en cuándo se puede aplicar.

Ordena y reduce

Primer y segundo grado

$ax=b$ da $x=b/a$ si $a\ne0$. Para $ax^2+bx+c=0$, con $a\ne0$, calcula $\Delta=b^2-4ac$ y, si $\Delta\ge0$, usa $x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$.

Cuenta los cortes

Discriminante y gráfica

$\Delta>0$: dos cortes con el eje $X$. $\Delta=0$: un contacto. $\Delta<0$: ningún corte.

Relaciona coeficientes y raíces

Viète y factorización

Para raíces reales contando la doble, $x_1+x_2=-b/a$ y $x_1x_2=c/a$. Si $AB=0$, resuelve $A=0$ o $B=0$. En una bicuadrada, prueba $t=x^2$ con $t\ge0$.

Anota las restricciones

Fracciones y radicales

En una ecuación racional, excluye los denominadores nulos antes de multiplicar en cruz. En $\sqrt{A(x)}=B(x)$, exige $A(x)\ge0$ y $B(x)\ge0$. Comprueba cada candidata en la ecuación original.

Revisa la base y los argumentos

Exponenciales y logaritmos

Para $a>0$ y $a\ne1$, $a^u=a^v$ implica $u=v$. Si $a^x=b>0$, $x=\log b/\log a$. En una ecuación logarítmica, todos los argumentos deben ser positivos.

Interpreta las soluciones

Sistemas

En un sistema lineal $2\times2$, elige sustitución, igualación o reducción. Las rectas secantes dan una solución, las coincidentes infinitas y las paralelas distintas ninguna. Si el sistema es no lineal, verifica cada pareja en ambas ecuaciones.

Autoevaluación de 20 preguntas

Selecciona una opción en cada pregunta y justifica las que te generen dudas. La clave se trabaja con la docente.

Apuntes en PDF

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