Expresiones algebraicas

2.1 Lenguaje algebraico y valor numérico

Traducir, interpretar y restringir

Una variable representa una cantidad que puede cambiar. Una expresión algebraica combina números, variables y operaciones. Antes de operar, explica qué significa cada letra y en qué unidades se mide. Las restricciones pueden proceder de una operación o del contexto.

Sustitución y signos

Para hallar el valor numérico se sustituye cada variable entre paréntesis cuando es negativa y se respetan las prioridades.

Expresión, identidad y ecuación

Una expresión no afirma una igualdad. Una identidad es una igualdad verdadera para todos los valores admisibles, como $2(x+1)=2x+2$. Una ecuación, como $2x+1=7$, pide encontrar los valores que hacen cierta la igualdad. En esta unidad trabajamos expresiones y despejes sencillos; la resolución sistemática de ecuaciones corresponde a U3.

2.2 Patrones y generalización

De una tabla a una regla

Una sucesión es una lista ordenada. Su término general permite calcular una posición $n$ sin escribir todas las anteriores. Para conjeturar una regla, registra varios casos y explica cómo se construye la figura o el número; unos pocos datos no determinan una única sucesión.

Descomponer un procedimiento

Un algoritmo es una secuencia finita de instrucciones para resolver una tarea. Para generar la tabla de palillos: leer $n$ entero positivo; calcular $p=3n+1$; mostrar $n$ y $p$; repetir para la siguiente posición. En una hoja de cálculo, escribe la posición en A2 y la fórmula =3*A2+1 en B2; al copiarla se actualiza la referencia. Comprueba primero un caso conocido.

Generalizar y contrastar

Si una conjetura falla, busca un contraejemplo y revisa su alcance. Los números $1,4,9,16$ sugieren $n^2$ cuando proceden de cuadrados de lado $n$; la explicación geométrica añade una justificación que una tabla aislada no proporciona.

2.3 Monomios, polinomios y operaciones

Elementos y grado

Un monomio es un producto de un coeficiente por potencias de variables con exponentes enteros no negativos. Su grado es la suma de esos exponentes. Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Un polinomio es una suma de monomios. En una variable, $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$, con $a_n\ne0$, tiene grado $n$. El polinomio cero no tiene un grado ordinario definido.

Sumar, restar y multiplicar

Solo se suman términos semejantes. Al restar un polinomio cambian los signos de todos sus términos. En el producto, cada término de un factor multiplica a todos los del otro.

2.4 Identidades notables

Tres identidades fundamentales

El término central del cuadrado procede de los dos productos cruzados. No debe omitirse ni confundirse una diferencia de cuadrados con un cuadrado de diferencia.

Aplicación directa e inversa

Comprobar sin confundir verificar y demostrar

Desarrollar por distributiva demuestra una identidad. Sustituir valores permite detectar errores, pero comprobar algunos casos no prueba que la igualdad sea siempre cierta.

2.5 División de polinomios y regla de Ruffini

Cociente y resto

Si el divisor $D$ es un polinomio no nulo, existen $Q$ y $R$ tales que $P=DQ+R$, con $R=0$ o $\deg R<\deg D$. La división se comprueba multiplicando divisor por cociente y sumando el resto.

Ruffini para divisores de la forma $x-a$

Ordena el polinomio e incluye ceros en los grados ausentes. Escribe $a$, baja el primer coeficiente, multiplica por $a$, suma y repite. El último número es el resto; los anteriores forman los coeficientes del cociente.

Así $x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x^2-2x-3)$. Si el divisor es $x+1$, se usa $a=-1$, no $1$.

2.6 Teoremas del resto y del factor

Evaluar para conocer un resto

Al dividir entre $x-a$, $P(x)=(x-a)Q(x)+R$, con $R$ constante. Sustituir $x=a$ anula el primer sumando: $P(a)=R$.

Parámetros sencillos

Si se da un resto no nulo, se impone $P(a)=R$ en lugar de igualarlo a cero. No confundir raíz del polinomio con coeficiente del divisor: $x+3$ corresponde a $a=-3$.

2.7 Raíces y factorización

Factorizar es escribir un producto

Primero busca factor común; después identidades notables; finalmente raíces sencillas y Ruffini. Para polinomios con coeficientes enteros, las raíces enteras posibles dividen al término independiente cuando este no es cero. Son candidatas: hay que comprobarlas.

Raíces y multiplicidad

Una raíz $a$ corresponde al factor $x-a$. Si se repite, aparece una potencia de ese factor. Un polinomio de grado $n$ no nulo no tiene más de $n$ raíces reales distintas. No todos los factores se pueden descomponer en factores lineales reales: $x^2+4>0$ para todo real.

2.8 Monográfico: perímetros, áreas y volúmenes

Magnitudes y unidades

El perímetro mide el contorno (cm, m); el área mide superficie (cm$^2$, m$^2$) y el volumen mide espacio (cm$^3$, m$^3$). Convertir $1$ m a $100$ cm implica $1$ m$^2=10000$ cm$^2$ y $1$ m$^3=1000000$ cm$^3$. Las figuras son esquemas, no dibujos a escala.

Cuadrado y rectángulo

Cuadrado: $P=4a$, $A=a^2$. Rectángulo: $P=2(b+h)$, $A=bh$, con todas las longitudes positivas.

Circunferencia y círculo

Longitud de la circunferencia: $L=2\pi r=\pi d$. Área del círculo: $A=\pi r^2$. El diámetro no puede sustituir al radio en $\pi r^2$.

Triángulo y teorema de Pitágoras

$P=a+b+c$ y $A=bh/2$, donde $h$ es perpendicular a la base elegida. En un triángulo rectángulo, si $c$ es la hipotenusa y $a,b$ los catetos: $c^2=a^2+b^2$. Para hallar un cateto, $a=\sqrt{c^2-b^2}$.

Prismas rectos de base cuadrada y rectangular

Para un prisma recto: $A_L=P_bh$, $A_T=2A_b+A_L$, $V=A_bh$. La base y la altura del prisma son perpendiculares.

Base cuadrada de lado $a$: $A_L=4ah$, $A_T=2a^2+4ah$, $V=a^2h$. Base rectangular $a\times b$: $A_L=2(a+b)h$, $A_T=2ab+2(a+b)h$, $V=abh$.

Cilindro recto

$A_L=2\pi rh$, $A_T=2\pi r^2+2\pi rh$, $V=\pi r^2h$. El área total anterior corresponde a un cilindro cerrado con sus dos bases.

Cono circular recto

La generatriz $g=\sqrt{r^2+h^2}$ se obtiene por Pitágoras. $A_L=\pi rg$, $A_T=\pi rg+\pi r^2$ y $V=\pi r^2h/3$. Altura y generatriz no son intercambiables.

Esfera

Superficie: $A=4\pi r^2$. Volumen: $V=4\pi r^3/3$. Una esfera no tiene base ni área lateral diferenciada.

Despejar y modelizar

En $A=bh/2$, $h=2A/b$ para $b>0$. En $V=\pi r^2h$, $h=V/(\pi r^2)$. El cociente aparece al despejar una fórmula, sin introducir operaciones con fracciones algebraicas. Si todas las longitudes se multiplican por $k>0$, el área se multiplica por $k^2$ y el volumen por $k^3$.

2.9 Problemas, razonamiento y errores frecuentes

Del contexto a la expresión

Haz un esquema, define la variable, indica sus unidades y escribe restricciones antes de desarrollar. Una expresión factorizada puede mostrar mejor el significado de cada medida; una desarrollada puede facilitar comparaciones. Son formas equivalentes, no modelos distintos.

Comprobar razonando

Una identidad se justifica con reglas algebraicas; un modelo, además, debe corresponder al dibujo y al contexto. Si la altura de un cilindro es $12-2r$, el volumen es $V(r)=\pi r^2(12-2r)$ y se exige $0<r<6$.

Taller en parejas

Una persona propone una solución y la otra verifica signos, unidades y restricciones. Intercambiad roles. Seleccionad un error, describid por qué ocurrió y corregidlo con una regla o contraejemplo. La colaboración se observa con evidencias del trabajo, no se deduce de la nota de un examen.

2.10 Calculadora y comprobación tecnológica

Evaluar sin perder el control algebraico

La fx-991SP CW y la fx-570SP X II son calculadoras científicas, no sistemas de álgebra simbólica. Una tabla numérica ayuda a contrastar una expresión, pero no desarrolla ni demuestra identidades por sí misma.

Valores numéricos y tablas

Para $P(x)=x^3-4x^2+x+6$, escribe toda la expresión en Calcular sustituyendo cada $x$ por el número entre paréntesis. Para estudiar varios valores, usa la aplicación Tabla: HOME en CW o MENU en X II. Introduce $f(x)=x^3-4x^2+x+6$ y el intervalo desde $-1$ hasta $3$ con paso $1$, siguiendo los campos de la pantalla.

Los ceros observados sugieren raíces; la factorización y la sustitución exacta las justifican. La tabla con ese paso no descarta raíces entre los valores mostrados.

Comprobar una fórmula geométrica

Para un cono de radio $3$ y altura $4$, calcula primero $g=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Después usa $A_T=\pi\cdot3\cdot5+\pi\cdot3^2=24\pi$. No sustituyas $g$ por $h$. Mantén $\pi$ y transforma a decimal solo al final.

Registro y límites

Anota el cálculo a mano, la entrada, la salida y qué permite concluir. Las instrucciones básicas se contrastan con las guías oficiales de ambos modelos; no se han ensayado en hardware físico. En actividades sin calculadora, la comprobación posterior no reemplaza el procedimiento solicitado.

Explora con GeoGebra

En la calculadora gráfica escribe f(x)=x³−4x²+x+6. Anticipa sus raíces con Ruffini y comprueba los cortes con el eje X. ¿Cómo se leen esos cortes en la factorización?

Abrir GeoGebra Calculadora Gráfica

Práctica autocorregible

Escribe las expresiones desarrolladas en orden descendente, con ^ para los exponentes. Separa con punto y coma los valores de un conjunto.

2.1 Lenguaje algebraico y valor numérico

2.2 Patrones y generalización

2.3 Monomios, polinomios y operaciones

2.4 Identidades notables

2.5 División de polinomios y regla de Ruffini

2.6 Teoremas del resto y del factor

2.7 Raíces y factorización

2.8 Monográfico: perímetros, áreas y volúmenes

2.10 Calculadora y comprobación tecnológica

Razonamiento matemático

2.9 Problemas, razonamiento y errores frecuentes

Formulario algebraico y geométrico

Elige lo que necesitas repasar y encuentra la fórmula junto a su uso o a su dibujo.

Álgebra

Geometría

Cuadrado y rectángulo

Cuadrado: $P=4a$, $A=a^2$. Rectángulo: $P=2(b+h)$, $A=bh$.

Circunferencia y círculo

$L=2\pi r=\pi d$, $A=\pi r^2$, $d=2r$.

Triángulo

$P=a+b+c$, $A=\frac{bh}{2}$. Si es rectángulo, $c^2=a^2+b^2$, con $c$ la hipotenusa.

Prisma recto

$A_L=P_bh$, $A_T=2A_b+P_bh$, $V=A_bh$. En una base cuadrada, $A_b=a^2$ y $P_b=4a$. En una rectangular, $A_b=ab$ y $P_b=2(a+b)$.

Cilindro cerrado

$A_L=2\pi rh$, $A_T=2\pi r^2+2\pi rh$, $V=\pi r^2h$.

Cono recto

$g=\sqrt{r^2+h^2}$, $A_L=\pi rg$, $A_T=\pi rg+\pi r^2$, $V=\frac{\pi r^2 h}{3}$.

Esfera

$A=4\pi r^2$, $V=\frac{4\pi r^3}{3}$.

Autoevaluación de 20 preguntas

Selecciona una opción en cada pregunta y justifica las que te generen dudas. La clave se trabaja con la docente.