Tema 1 · 4.º ESO

Números reales

1.1 Conjuntos numéricos y expresiones decimales

De los números naturales a los reales

Los naturales sirven para contar; aquí tomamos $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ . Los enteros añaden los negativos. Los racionales son cocientes $p/q$ de enteros con $q\ne0$ . Los irracionales no admiten esa escritura. Juntos forman los reales: $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R,\qquad \mathbb I=\mathbb R\setminus\mathbb Q.$

Fracción generatriz

En un decimal exacto se escribe el número sin coma y se divide por una potencia de diez; después se simplifica. Para uno periódico, desplazamos la coma y restamos para eliminar el periodo.

Por qué una raíz puede ser irracional

Si $\sqrt2=p/q$ fuera irreducible, $p^2=2q^2$ obligaría a que $p$ fuese par. Al escribir $p=2k$ , resulta $q^2=2k^2$ , de modo que $q$ también sería par. Contradice que la fracción fuera irreducible. No toda raíz es irracional: las raíces de cuadrados perfectos son enteras.

Practica y razona

1.2 Orden, intervalos y valor absoluto

Comparar y representar conjuntos

Al sumar la misma cantidad a ambos miembros se conserva una desigualdad. Al multiplicar o dividir por un número negativo se invierte. Los intervalos describen conjuntos de números, no solo sus extremos.

Notación	Condición	Extremos
$(a,b)$	$a<x<b$	Ambos excluidos
$[a,b]$	$a\le x\le b$	Ambos incluidos
$[a,b)$	$a\le x<b$	Solo $a$ incluido
$(-\infty,b]$	$x\le b$	Infinito siempre abierto

Recta numérica con el intervalo desde −2 incluido hasta 4 excluido

$A\cap B$ conserva los elementos comunes y $A\cup B$ reúne los de ambos conjuntos.

Valor absoluto como distancia

$|x|$ es la distancia de $x$ al cero: vale $x$ si $x\ge0$ y $-x$ si $x<0$ . La distancia entre $a$ y $b$ es $|a-b|$ .

Practica y razona

1.3 Potencias y notación científica

Reglas y condiciones

Para base no nula y exponentes enteros: $a^ma^n=a^{m+n},\quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\quad(a^m)^n=a^{mn},\quad a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a^0=1.$ Un exponente negativo indica un inverso, no un cambio de signo. Para $a>0$ , $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}$ con $q>0$ .

Notación científica

Se escribe $a\cdot10^n$ , con $1\le |a|<10$ y $n$ entero. Permite comparar órdenes de magnitud y operar con cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Practica y razona

1.4 Radicales y racionalización

Raíces y operaciones

La raíz de índice par de $a\ge0$ es el número no negativo cuya potencia da $a$ . Las de índice impar existen para cualquier real. Para $a,b\ge0$ , $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ ; en un cociente se exige además $b>0$ .

Extraer e introducir factores

Si $a\ge0$ , $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ . Si el factor es negativo, el signo queda fuera. Para extraer, buscamos potencias perfectas del índice: $\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]2$ .

Eliminar raíces del denominador

Racionalizar consiste en escribir una fracción equivalente con denominador sin radicales. Se multiplica numerador y denominador por el mismo factor no nulo.

Practica y razona

1.5 Logaritmos

Una pregunta sobre exponentes

Propiedades

Para $u,v>0$ y base admitida: $\log_a(uv)=\log_a u+\log_a v,\quad \log_a\frac uv=\log_a u-\log_a v,\quad \log_a(u^r)=r\log_a u.$ Si $u=a^p$ y $v=a^q$ , entonces $uv=a^{p+q}$ ; por eso el logaritmo del producto es $p+q$ . Las reglas del cociente y de la potencia proceden de las correspondientes reglas de potencias.

Cambio de base y aplicaciones sencillas

$\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}=\frac{\log b}{\log a}.$

Practica y razona

1.6 Aproximaciones, errores y proporcionalidad

Precisión y estimaciones

Truncar es eliminar cifras desde una posición; redondear consiste en elegir la aproximación más cercana con la precisión fijada. Si la cifra siguiente es $5$ o mayor, aumentamos una unidad la última conservada en números positivos. $E_a=|v-\widetilde v|,\qquad E_r=\frac{|v-\widetilde v|}{|v|}\quad(v\ne0).$ $E_a$ tiene las unidades de la magnitud; $E_r$ es adimensional y puede expresarse como porcentaje. Si se redondea a centésimas, el error absoluto es como máximo $0{,}005$ unidades.

Proporcionalidad

En proporcionalidad directa el cociente $y/x$ es constante: $y=kx$ . En proporcionalidad inversa lo es el producto: $xy=k$ . No toda relación creciente es proporcional.

Porcentajes sucesivos

Un aumento del $r\%$ multiplica por $1+r/100$ ; una reducción, por $1-r/100$ . Los factores sucesivos se multiplican.

Practica y razona

1.7 Aplicaciones: bacterias, usuarios y escalas logarítmicas

Elegir un modelo y sus unidades

Si una cantidad inicial $N_0$ aumenta una proporción $r$ por periodo, $N(t)=N_0(1+r)^t$ . Si se duplica cada $T$ unidades de tiempo: $N(t)=N_0 2^{t/T}$ . Son modelos idealizados: el crecimiento indefinido de bacterias o usuarios no es realista. Se aplican durante el intervalo considerado.

Disminución y semivida

$M(t)=M_0(1-r)^t$ modeliza una reducción proporcional constante. Una semivida $T$ conduce a $M(t)=M_0(1/2)^{t/T}$ .

pH: una escala inversa

En el modelo escolar, $\mathrm{pH}=-\log[H^+]$ , usando el valor numérico de la concentración en mol/L. Se recupera la concentración con $[H^+]=10^{-\mathrm{pH}}$ .

Nivel sonoro: intensidad y decibelios

El nivel de intensidad sonora es $L=10\log(I/I_0)$ dB, con $I_0=10^{-12}$ W/m $^2$ en estos ejercicios. Para comparar fuentes: $L_2-L_1=10\log\frac{I_2}{I_1},\qquad \frac{I_2}{I_1}=10^{(L_2-L_1)/10}.$

Magnitud sísmica: amplitud y energía

Usamos la relación escolar simplificada de magnitud local $M=\log(A/A_0)$ , con amplitud de referencia fijada para la misma corrección de distancia y condiciones comparables. Entonces $A_2/A_1=10^{M_2-M_1}$ . La escala local de Richter no es la única escala usada para terremotos.

Practica y razona

1.8 Números, proporciones y cultura

Tres irracionales con interpretación geométrica

$\pi$ es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. La proporción áurea es $\varphi=(1+\sqrt5)/2\approx1{,}618$ y cumple $\varphi^2=\varphi+1$ . La proporción cordobesa se expresa como $c=1/\sqrt{2-\sqrt2}\approx1{,}307$ . En un octógono regular es la razón entre el radio de su circunferencia circunscrita y el lado. Puede obtenerse dividiendo el octógono en ocho triángulos isósceles de ángulo central $45^\circ$ .

Octógono inscrito en una circunferencia, con radio R y lado s

Investigar sin atribuir proporciones sin pruebas

Que una fachada se parezca a un rectángulo áureo no demuestra que su autor lo diseñara así. Hay que documentar medidas, fuentes, margen de error y fecha. Diferenciar una coincidencia geométrica de una afirmación histórica es parte del razonamiento matemático.

Actividad cooperativa

En parejas, buscad un ejemplo documentado de matemática vinculada al patrimonio andaluz. Elaborad una ficha con fuente, medidas si están disponibles, cálculo y límites de la conclusión. Incluid una aportación de una matemática y repartid las funciones de búsqueda y comprobación. Revisad mutuamente los cálculos y registrad una mejora tras la revisión.

Practica y razona

1.9 Calculadora: CASIO fx-991SP CW y fx-570SP X II

Preparar una comprobación fiable

Trabajaremos con entrada natural cuando esté disponible. En la CW se accede a Calcular desde HOME; en la X II, desde MENU. La CW convierte a decimal desde FORMAT; la X II permite alternar con S $\leftrightarrow$ D. Elegid salida exacta antes de aproximar. Los nombres de teclas identifican funciones; no son capturas de una pantalla física.

Cuatro comprobaciones guiadas

Escribe la expresión completa $(\sqrt{72}-\sqrt8)/2$ , respetando todo el numerador. El resultado exacto es $2\sqrt2$ y su decimal $2{,}828427\ldots$ .
Introduce $(-2)^4$ y después $-(2^4)$ . Deben aparecer $16$ y $-16$ . Usa la tecla de signo negativo cuando introduzcas un número negativo.
Para $\log_3 7$ , calcula $\log(7)/\log(3)$ : $1{,}771243\ldots$ . El cociente permite trabajar con ambos modelos sin depender de una plantilla de base variable.
Para $1200(1{,}15)^t=3000$ , calcula $\log(3000/1200)/\log(1{,}15)$ . Conserva el resultado completo hasta decidir el primer mes entero: $7$ .

Antes de aceptar un resultado

Comprueba signos, paréntesis, argumento del logaritmo, exponente y unidades. Usa el valor almacenado del resultado anterior cuando continúes un cálculo, en vez de copiar sus primeras cifras. Un error de dominio no se arregla cambiando a decimal. No se necesita modo complejo para estas unidades.

Práctica autónoma y registro

Resuelve primero a mano los ejercicios instrumentales; después contrasta. En problemas, deja escrito el modelo antes de teclear. Registra expresión introducida, salida exacta o aproximada y una interpretación. Las rutas básicas se han contrastado con documentación oficial; no se han probado en hardware físico.

Practica y razona

Explora con GeoGebra

Representa [−2, 4) y (−2, 4]. Explica qué extremos pertenecen a cada intervalo y comprueba tu respuesta.

Representación de intervalos en la recta real · MatesGG (INTEF)

Práctica autocorregible

1.1 Conjuntos numéricos y expresiones decimales

U01-01

Clasifica en el menor conjunto: $-8$ , $\sqrt{36}$ , $-7/3$ , $\sqrt{11}$ .

U01-02

Obtén la fracción generatriz de $0{,}\overline{27}$ .

U01-03

Obtén las fracciones de $0{,}125$ y $1{,}2\overline3$ .

U01-04

¿Puede la suma de dos irracionales ser racional? Da un ejemplo.

U01-05

Justifica si $\sqrt{18}/\sqrt2$ es racional.

1.2 Orden, intervalos y valor absoluto

U01-06

Escribe como intervalo $-3<x\le7$ .

U01-07

Halla $[-4,2]\cap(0,5)$ y $(-\infty,1]\cup(1,4]$ .

U01-08

Resuelve $|2x-5|=7$ .

U01-09

Expresa $|x-2|<3$ como intervalo y calcula la distancia entre $-4$ y $2$ .

U01-10

Ordena $-\sqrt5$ , $-2$ , $0$ y $\sqrt3$ sin usar todos sus decimales.

1.3 Potencias y notación científica

U01-11

Simplifica $3^5\cdot3^{-2}/3$ .

U01-12

Calcula $(-2)^4$ , $-2^4$ y $16^{3/4}$ .

U01-13

Escribe en notación científica $7200000$ y $0{,}000045$ .

U01-14

Calcula $(6\cdot10^7)/(2\cdot10^3)$ y $3\cdot10^{-4}+5\cdot10^{-5}$ .

U01-15

Una célula mide $2\cdot10^{-6}$ m. ¿Cuánto medirían $500$ alineadas sin huecos?

1.4 Radicales y racionalización

U01-16

Simplifica $\sqrt{200}-\sqrt{50}$ .

U01-17

Calcula $\sqrt[3]{-64}$ y simplifica $\sqrt{48}+\sqrt{75}$ .

U01-18

Racionaliza $3/(2\sqrt5)$ .

U01-19

Racionaliza $2/(\sqrt3+1)$ y $1/(\sqrt7-\sqrt6)$ .

U01-20

¿Son iguales $\sqrt{x^2}$ y $x$ para $x=-5$ ? Introduce $3\sqrt2$ en una raíz.

1.5 Logaritmos

U01-21

Calcula $\log_2 32$ , $\log_3(1/9)$ y $\log_5 1$ .

U01-22

Expande $\log(x^3/y)$ con $x,y>0$ .

U01-23

Resuelve $3^x=7$ y expresa el resultado con tres decimales.

U01-24

Resuelve $\log_2(x-1)=4$ .

U01-25

Refuta $\log(2+3)=\log2+\log3$ .

1.6 Aproximaciones, errores y proporcionalidad

U01-26

Trunca y redondea $3{,}14159$ a centésimas. Acota el error del redondeo.

U01-27

Una longitud exacta de $80$ cm se aproxima por $79$ cm. Calcula sus errores.

U01-28

Cuatro cuadernos cuestan $10$ euros. ¿Cuánto cuestan siete al mismo precio?

U01-29

Seis trabajadores tardan $8$ días. ¿Cuánto tardarían cuatro con el mismo rendimiento ideal?

U01-30

Un precio sube un $10\%$ y baja luego un $10\%$ . ¿Vuelve al inicial?

1.7 Aplicaciones: bacterias, usuarios y escalas logarítmicas

U01-31

Una colonia de $500$ bacterias se duplica cada $6$ h. Escribe el modelo, calcula $N(12)$ y el tiempo para alcanzar $4000$ .

U01-32

Una población de $200$ bacterias crece un $25\%$ por hora. Calcula la cantidad tras $4$ h y el primer registro horario que supera $1000$ .

U01-33

Una plataforma tiene $1200$ usuarios y crece un $15\%$ mensual. Calcula $U(4)$ y el primer mes con más de $3000$ .

U01-34

Un servicio pierde un $10\%$ de sus $1000$ usuarios cada mes. ¿En qué primer mes habrá menos de $500$ ?

U01-35

Una sustancia de $96$ g tiene semivida $4$ años. ¿Cuándo quedan $12$ g?

U01-36

Calcula el pH de $[H^+]=2\cdot10^{-4}$ mol/L. Compara las concentraciones de muestras con pH $3$ y $5$ .

U01-37

Un sonido tiene $I=10^{-6}$ W/m $^2$ . Calcula su nivel y compáralo con uno de $40$ dB.

U01-38

Dos fuentes independientes tienen cada una $50$ dB. Si sus intensidades se suman, calcula el nivel total.

U01-39

Compara un sismo de magnitud $6{,}2$ con otro de $4{,}7$ . Usa las fórmulas escolares del capítulo para amplitud y energía.

U01-40

¿Qué aumento de nivel corresponde a multiplicar la intensidad sonora por $5$ ? ¿Y qué diferencia de magnitud sísmica corresponde a multiplicar la amplitud por $5$ ?

1.8 Números, proporciones y cultura

U01-41

Comprueba algebraicamente que $\varphi^2=\varphi+1$ .

U01-42

Un rectángulo mide $13$ por $10$ cm. Compara su razón con $c\approx1{,}306563$ .

1.9 Calculadora: CASIO fx-991SP CW y fx-570SP X II

U01-43

Calcula $(\sqrt{72}-\sqrt8)/2$ a mano y comprueba con ambos formatos.

U01-44

Un estudiante obtiene $3$ al calcular $\log(1000)$ . ¿Qué obtiene para $\log(0{,}001)$ y por qué?

Práctica global

Resuelve dejando constancia del procedimiento y revisa el significado de cada respuesta.

U01-G01

Calcula $[0,4)\cup[3,7]$ y $[0,4)\cap[3,7]$ .

U01-G02

Simplifica $\sqrt{98}-\sqrt{32}+\sqrt8$ .

U01-G03

Racionaliza $4/(\sqrt5+1)$ y comprueba su aproximación decimal.

U01-G04

Una colonia de $300$ bacterias aumenta un $20\%$ cada hora. Calcula la cantidad tras $3$ horas y cuándo se triplica según el modelo.

U01-G05

Una sustancia tiene $80$ g y semivida $5$ años. Calcula cuándo quedan $10$ g y qué masa queda a los $10$ años.

U01-G06

Dos muestras tienen pH $4{,}5$ y $6$ . ¿Cuál tiene mayor concentración de $H^+$ y cuántas veces?

U01-G07

Un sonido aumenta su nivel en $30$ dB. Un sismo aumenta su magnitud en $3$ . Compara las razones de intensidad sonora y de amplitud sísmica.

U01-G08

Al medir una pieza de $25$ cm se obtienen $24{,}8$ cm. Calcula errores y explica si el relativo cambia al expresar todo en mm.

Razonamiento matemático

Dos sensores, una temperatura

Dos sensores miden al mismo tiempo la temperatura de una misma sala. El primero marca $21\,^{\circ}\mathrm{C}$ con un margen de error de hasta $2\,^{\circ}\mathrm{C}$ . El segundo marca $23\,^{\circ}\mathrm{C}$ con un margen de error de hasta $1\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Representa los dos intervalos en una recta. Escribe el intervalo de temperaturas compatible con ambas lecturas. Explica si $24\,^{\circ}\mathrm{C}$ podría ser la temperatura real y si las lecturas permiten conocer un valor exacto.

¿Cuándo supera el cultivo el límite?

Un cultivo tiene inicialmente 600 bacterias. Según el modelo del laboratorio, en cada hora completa se duplica la cantidad. Se toma una muestra al final de cada hora. ¿En cuál de esas muestras se superan por primera vez las $10\,000$ bacterias?

Estima el momento antes de calcular. Elige cómo organizar la búsqueda y justifica que la muestra inmediatamente anterior aún no supera el límite. ¿Qué ocurriría si el límite fuera de $9\,600$ bacterias y también se exigiera superarlo?

Formulario y mapa del tema

Localiza la regla que necesitas y fíjate en cuándo se puede aplicar.

Clasifica y mide distancias

Conjuntos y valor absoluto

$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$ . Los irracionales son $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ . La distancia es $|a-b|$ y $\sqrt{x^2}=|x|$ .

Lee los extremos

Intervalos

Recta numérica del intervalo desde −2 incluido hasta 4 excluido.

Un corchete incluye el extremo. Un paréntesis lo excluye. Con infinito, usa siempre paréntesis.

Opera con la misma base

Potencias

$a^ma^n=a^{m+n}$ , $a^m/a^n=a^{m-n}$ , $(a^m)^n=a^{mn}$ . Para $a\ne0$ , $a^{-n}=1/a^n$ .

Busca factores o conjugados

Radicales

$\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ para $a,b\ge0$ . Si el denominador contiene una suma o diferencia con una raíz, prueba con el conjugado: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ .

Traduce a potencia

Logaritmos

$\log_a b=x\iff a^x=b$ , con $a>0$ , $a\ne1$ y $b>0$ . Por ejemplo, $\log_2 8=3$ porque $2^3=8$ .

Interpreta el resultado

Errores y crecimiento

$E_a=|v-\widetilde v|$ y $E_r=E_a/|v|$ si $v\ne0$ . Si una cantidad aumenta una proporción $r$ en cada periodo, $N(t)=N_0(1+r)^t$ .

Infografía de números reales con conjuntos, valor absoluto, potencias, radicales, intervalos y logaritmos. — Números reales · 4.º ESO Ampliar infografía

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Potencias: $a^ma^n=a^{m+n}$ , $a^m/a^n=a^{m-n}$ , $(a^m)^n=a^{mn}$ y $a^{-n}=1/a^n$ , respetando bases no nulas donde proceda. Para $a>0$ , $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}$ .

Radicales: $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ para $a,b\ge0$ . Conjugados: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ .

Logaritmos: $\log_a b=x\iff a^x=b$ , con $a>0$ , $a\ne1$ , $b>0$ . Para $u,v>0$ : $\log_a(uv)=\log_a u+\log_a v,\quad \log_a(u/v)=\log_a u-\log_a v,\quad \log_a(u^r)=r\log_a u,\quad \log_a b=\frac{\log b}{\log a}.$ Errores: $E_a=|v-\widetilde v|$ , $E_r=E_a/|v|$ si $v\ne0$ ; porcentaje $100E_r$ .

Proporcionalidad: directa $y=kx$ ; inversa $xy=k$ . Cambio del $r\%$ : factor $1\pm r/100$ .

Modelos: $N(t)=N_0(1+r)^t$ para aumento de proporción $r$ ; disminución $N_0(1-r)^t$ con $0<r<1$ ; duplicación $N_0 2^{t/T}$ ; semivida $M_0(1/2)^{t/T}$ . Igualar al objetivo y despejar con logaritmos; interpretar si el tiempo se registra en periodos enteros.

Escala	Relación escolar
pH	$\mathrm{pH}=-\log[H^+]$ ; concentración numérica en mol/L.
Nivel sonoro	$L=10\log(I/I_0)$ ; $I_2/I_1=10^{\Delta L/10}$ , $I_0=10^{-12}$ W/m $^2$ .
Magnitud local	$A_2/A_1=10^{\Delta M}$ en condiciones comparables; energía aproximada $E_2/E_1\approx10^{1{,}5\Delta M}$ .

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