Probabilidad

10.1 Azar, experimentos y sucesos

Experimento y resultados

En un experimento aleatorio se conocen resultados posibles, pero no se predice con certeza cuál ocurrirá. Un experimento determinista tiene resultado fijado por el modelo y las condiciones. El espacio muestral $\Omega$ contiene todos los resultados considerados; define qué se observa para no mezclar modelos. Al lanzar un dado equilibrado y observar la cara, $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$. Un suceso es un subconjunto: $A=\{2,4,6\}$ es obtener par. Elemental: un único resultado; compuesto: varios. El seguro es $\Omega$ y el imposible $\varnothing$. Dos lanzamientos son un experimento compuesto y el resultado registra el orden.

10.2 Diagramas de Venn y operaciones con sucesos

Leer regiones y traducir frases

El rectángulo representa $\Omega$; cada círculo, un suceso. El contrario $\overline A$ comprende todo lo que está fuera de $A$ pero dentro de $\Omega$. No significa simplemente $B$. La intersección $A\cap B$ es la zona común; la unión $A\cup B$ incluye ambos círculos, también su parte común. La diferencia $A\setminus B=A\cap\overline B$ es solo la zona de $A$ que no está en $B$.

Ambos, solo uno y ninguno

Ambos: $A\cap B$. Solo $A$: $A\cap\overline B$. Solo $B$: $\overline A\cap B$. Exactamente uno: unión de esas dos regiones disjuntas. Ninguno: $\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$. Al menos uno: $A\cup B$. Son incompatibles si la intersección es vacía; compatibles si puede ocurrir simultáneamente.

De Morgan y tres conjuntos

$\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$: no ocurren ambos. $\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$: no ocurre ninguno. En tres conjuntos, $A\cap B\cap\overline C$ es la parte de $A$ y $B$ que excluye $C$; $A\setminus(B\cup C)$ es solo $A$, fuera de los otros dos.

10.3 Recuento mediante diagramas de árbol

Una etapa por decisión

Cada nivel representa una etapa y cada camino completo, un resultado. Etiqueta las ramas y cuenta hojas, sin omitir posibilidades ni duplicar resultados. Antes de contar aclara si importa el orden y si una elección puede repetirse. En esta unidad no se usan fórmulas combinatorias, factoriales ni funciones nCr o nPr.

Dos colores y tres tallas: seis elecciones.

En dos elecciones sin repetición entre A, B y C, cada primera rama tiene solo dos continuaciones: AB, AC, BA, BC, CA, CB. Si se forman parejas sin cargo ni orden, AB y BA representan la misma pareja y se agrupan; no cambies la interpretación a mitad del árbol.

10.4 Probabilidad de un suceso

Frecuencia y regla de Laplace

La frecuencia relativa tras repetir un experimento aproxima su probabilidad bajo condiciones estables, sin garantizar una coincidencia exacta en un lote finito. Siempre $0\le P(A)\le1$, $P(\Omega)=1$, $P(\varnothing)=0$ y $P(\overline A)=1-P(A)$. Si los resultados elementales son equiprobables, Laplace da casos favorables entre posibles. Contar caras no basta si el dado está trucado. En experiencias compuestas, las hojas de un árbol no tienen por qué tener la misma probabilidad.

Sumar regiones de Venn

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Restamos la intersección para no contarla dos veces. En incompatibles esa intersección vale cero. Solo A tiene probabilidad $P(A)-P(A\cap B)$; ninguno, $1-P(A\cup B)$; exactamente uno, $P(A)+P(B)-2P(A\cap B)$.

10.5 Experimentos compuestos y árboles de probabilidad

Probabilidades en cada bifurcación

Las probabilidades que salen de un mismo nodo suman uno. Multiplica a lo largo de un camino para obtener su probabilidad; suma caminos completos incompatibles cuando representen alternativas del suceso pedido. No sumes ramas de etapas distintas como si fueran alternativas de un nodo.

10.6 Sucesos independientes y dependientes

Independencia no es incompatibilidad

A y B son independientes si conocer que ocurre uno no cambia la probabilidad del otro; se comprueba con $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Incompatibles significa que no pueden ocurrir simultáneamente. Dos sucesos incompatibles de probabilidad positiva no son independientes.

Con y sin devolución

Con devolución, se recupera la composición de la urna, suponiendo mezclado aleatorio; las extracciones del modelo son independientes. Sin devolución, la segunda depende de la primera. Con tres rojas y dos azules: tras R quedan dos R y dos Z entre cuatro; tras Z quedan tres R y una Z.

RR tiene $3/5\cdot2/4=3/10$; RZ y ZR, $3/10$ cada una; ZZ, $1/10$. Los cuatro caminos suman uno.

10.7 Probabilidad condicionada

Cambiar el conjunto de referencia

$P(A\mid B)$ pregunta por A sabiendo B: el conjunto de referencia se reduce a B. Para $P(B)>0$, $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$. El numerador es la zona común; el denominador es todo B. En general no coincide con $P(B\mid A)$.

Árbol y tabla de doble entrada

$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$ explica el producto de un camino. En una tabla, selecciona primero la fila o columna que expresa la condición; después divide los favorables de ese grupo entre su total. No mantengas el total general como denominador cuando ya se sabe una condición.

10.8 Problemas de varias etapas

Exactamente, al menos y ninguno

En dos extracciones, exactamente una roja comprende RZ y ZR; al menos una roja comprende RR, RZ y ZR y suele calcularse como contrario de ZZ. Identifica caminos antes de operar; no confundir exactamente una con una o más.

Sumar ramas y condicionar al resultado

Una fábrica usa máquina A en el $60\%$ de las piezas y B en el $40\%$. Las tasas de defecto son $2\%$ y $5\%$. El defecto D puede venir de AD o BD: $P(D)=0{,}6\cdot0{,}02+0{,}4\cdot0{,}05=0{,}032$. Entre las defectuosas, la proporción de B es $P(B\cap D)/P(D)=0{,}02/0{,}032=0{,}625$. Se razona con caminos y condición, sin presentar un bloque de fórmula de Bayes.

10.9 Problemas seleccionados de PAU de Andalucía

Leer, representar y resolver

Los ejercicios de este bloque se seleccionan de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II y se adaptan al lenguaje y representación de 4.º ESO. La fuente y los cambios se identifican en cada actividad y en el informe de procedencia. La pertenencia a PAU no obliga a introducir combinatoria: se emplean sucesos, Venn, árboles y condicionadas.

10.11 Problemas integrados y toma de decisiones

Elegir Venn o árbol

Venn organiza pertenencias y operaciones entre sucesos; el árbol organiza etapas y probabilidades condicionadas. Un problema puede beneficiarse de ambos. En las soluciones se exige coherencia entre frase, símbolo, región y cálculo.

Juegos y razonamiento crítico

Una probabilidad mayor de ganar no basta para comparar juegos si cambian premio y coste. Aquí se comparan opciones con condiciones económicas iguales o se explicita que faltan datos. No interpretar una racha como obligación de compensación en el siguiente lanzamiento independiente.

Revisión en parejas

Cada integrante propone una región sombreada y el otro escribe una frase y una expresión equivalentes. Después intercambian un árbol y comprueban nodos y suma de hojas. Se conserva una corrección individual del error detectado.

Uso de la calculadora

Operaciones sin sustituir el razonamiento

En Calcular de las CASIO acordadas, usa fracciones, paréntesis y conversión a decimal para comprobar productos y sumas. Escribe antes los caminos o regiones. No se usan funciones combinatorias.

Simulación de experimentos

Simula cien pares de monedas, registra cuántos tienen al menos una cara y compara con $3/4$. Otra tanda puede dar distinto resultado. Aumentar repeticiones suele estabilizar la frecuencia relativa, pero no garantiza acercamiento monótono ni que cada tanda sea mejor que la anterior. En hoja de cálculo, documenta cómo se generan resultados y que recalcular puede cambiarlos.

Práctica con comprobación

10.1 Azar, experimentos y sucesos

10.2 Diagramas de Venn y operaciones con sucesos

10.3 Recuento mediante diagramas de árbol

10.4 Probabilidad de un suceso

10.5 Experimentos compuestos y árboles de probabilidad

10.6 Sucesos independientes y dependientes

10.7 Probabilidad condicionada

10.8 Problemas de varias etapas

10.9 Problemas seleccionados de PAU de Andalucía

10.10 Calculadora y simulación

Práctica global

Razonamiento matemático

10.11 Problemas integrados y toma de decisiones

Formulario visual

Traducir lenguaje a regiones

Contrario de $A$: $\overline A$ dentro de $\Omega$. Ambos: $A\cap B$. Al menos uno: $A\cup B$. Solo A: $A\cap\overline B$. Solo B: $\overline A\cap B$. Ninguno: $\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$. No ambos: $\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$. Exactamente uno: regiones exclusivas de A y B.

Probabilidades

$0\le P(A)\le1$, $P(\Omega)=1$, $P(\overline A)=1-P(A)$. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Laplace: casos favorables entre posibles, solo si los resultados elementales son equiprobables.

Árboles y condicionadas

Las ramas de cada nodo suman uno. Multiplicar a lo largo de un camino; sumar caminos finales incompatibles. Sin devolución, actualizar cantidades y total. $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ si $P(B)>0$. Independencia: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Incompatibilidad: intersección vacía. No son equivalentes. Se cuenta mediante árboles, sin fórmulas combinatorias.

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