Estadística unidimensional y bidimensional

9.1 El estudio estadístico

De una pregunta a una conclusión

Un estudio comienza con una pregunta concreta, identifica población y variable, elige cómo recoger datos, los organiza, los representa y analiza, y concluye indicando limitaciones. La población es el conjunto de interés; cada elemento es un individuo y una muestra es el subconjunto observado. Describir una muestra no garantiza que represente a toda la población.

Variables y selección

Las cualitativas nominales son categorías sin orden; las ordinales tienen orden. Las cuantitativas discretas cuentan valores aislados y las continuas miden magnitudes que pueden variar en intervalos. Un código numérico no convierte una categoría en cantidad.

Una muestra grande puede estar sesgada si se selecciona solo a quienes están disponibles o responden voluntariamente. Define a quién excluye la recogida, evita preguntas que sugieran la respuesta y registra las unidades. En investigaciones escolares se pueden usar datos anónimos o conjuntos didácticos; no hacen falta nombres.

9.2 Tablas de frecuencias

Frecuencias y comprobación

La frecuencia absoluta $f_i$ cuenta observaciones, $h_i=f_i/N$ es la relativa y $100h_i$ el porcentaje. En variables ordenables, $F_i$ y $H_i$ acumulan las frecuencias hasta ese valor. Se verifica $\sum f_i=N$, $\sum h_i=1$. No se acumulan categorías nominales arbitrariamente ordenadas.

Intervalos y marcas de clase

Todos los intervalos se escriben $[L,U)$: incluyen $L$ y excluyen $U$. Un dato situado en una frontera interior pertenece al intervalo que comienza allí. Si un valor coincide con el extremo final, se amplía la cobertura añadiendo otra clase; no se cierra por la derecha la última clase. La amplitud es $U-L$ y la marca de clase su punto medio $c=(L+U)/2$. Para $[0,10)$, $[10,20)$ y $[20,30)$, las marcas son $5,15,25$. Las frecuencias $3,5,2$ suman diez y las acumuladas son $3,8,10$. Las marcas permiten aproximar parámetros; no revelan los datos exactos de cada clase.

9.3 Representaciones gráficas

Barras, sectores e histogramas

Las barras separadas representan categorías o valores discretos. En sectores, cada ángulo es $360^\circ h_i$. Para variables continuas se usan histogramas con rectángulos contiguos; con amplitudes diferentes, la altura correcta es $f_i/(U_i-L_i)$ para que el área represente frecuencia. Con amplitudes iguales puede usarse directamente frecuencia como altura, indicando el eje. El polígono une puntos situados sobre las marcas de clase.

Pictogramas: símbolos con escala constante

Cada icono debe tener un valor indicado y conservar el mismo tamaño. Si una persona dibujada equivale a dos observaciones, media figura equivale a una. No amplíes a la vez alto y ancho para representar el doble: el área se multiplicaría por cuatro. El gráfico incluido representa ocho preferencias por lectura, siete por deporte y cinco por música; son datos didácticos.

Una figura completa representa 2 personas; media figura, 1 persona.

Mapas por comunidades autónomas

El mapa incluido representa un porcentaje ficticio de participación en un proyecto escolar por comunidad. No son resultados reales ni datos del INE. Los límites geográficos proceden de una base cartográfica identificada; los valores y colores están en la tabla adjunta. Las ciudades de Ceuta y Melilla se distinguen de las diecisiete comunidades. Canarias se muestra en un recuadro desplazado, con escala propia.

Un mapa de recuentos puede reflejar el tamaño de la población. Para comparar participación, utiliza porcentaje de la población de referencia; para una tasa, identifica claramente el denominador. El color de una comunidad resume un agregado, no describe a cada habitante.

Lectura crítica

Comprueba título, fuente, fecha o carácter ficticio, unidades, ejes y leyenda. Escalas truncadas e iconos de tamaños distintos pueden exagerar diferencias. Elige el gráfico por la pregunta, no solo por su aspecto.

Barras y sectores del mismo conjunto: $8+7+5=20$.

Clases de amplitudes distintas: área $=$ frecuencia; alturas $10/5=2$ y $10/10=1$.

9.4 Medidas de centralización

Media, mediana y moda

La media aritmética es $\bar x=\sum x_j/N$; con tabla, $\bar x=\sum f_ix_i/N$. Usar frecuencias es resumir datos repetidos, no un bloque de ponderación por porcentajes o calificaciones. La mediana se obtiene ordenando: dato central si $N$ es impar y promedio de los dos centrales si es par. La moda es el valor o valores de mayor frecuencia; en una cualitativa nominal puede hallarse moda, pero no una media numérica de sus etiquetas.

Aproximaciones con clases

Sustituye las observaciones de cada intervalo por su marca y usa la frecuencia: para marcas $5,15,25$ y frecuencias $3,5,2$, $\bar x\approx14$. Con clases de igual amplitud, el intervalo modal es el de frecuencia máxima; tomamos su marca como moda aproximada. En el ejemplo, $[10,20)$ y moda aproximada $15$. Para evitar ambigüedades, las actividades de moda agrupada usan amplitudes iguales. Los histogramas de amplitud desigual se reservan para lectura de densidades. No se interpolan valores dentro de un intervalo.

9.5 Medidas de posición y diagramas de caja

Convenciones explícitas

$Q_1=P_{25}$, $Q_2=P_{50}$, $Q_3=P_{75}$. Para datos individuales ordenados y $0<k<100$, calcula $r=kN/100$: si no es entero, elige el dato de posición $\lceil r\rceil$; si es entero, promedia los datos de posiciones $r$ y $r+1$. Es una convención declarada; otras herramientas pueden dar resultados distintos. En datos agrupados, busca la primera clase cuya acumulada cumpla $F_i\ge kN/100$ y toma su marca como percentil aproximado. Si coincide exactamente con una acumulada, conservamos esa primera clase: no saltamos a la siguiente ni promediamos marcas. Esta convención agrupada se aplica también a la mediana $P_{50}$. El intervalo percentílico no es necesariamente el modal.

Cajas y posibles valores atípicos

El rango intercuartílico es $RIC=Q_3-Q_1$. La caja va de $Q_1$ a $Q_3$ y contiene la línea de mediana. En el diagrama modificado, los bigotes llegan a los datos extremos dentro de $[Q_1-1{,}5RIC,Q_3+1{,}5RIC]$; los exteriores se marcan como posibles atípicos, no se eliminan sin justificación.

9.6 Medidas de dispersión

Describir la variabilidad

Rango: máximo menos mínimo. Varianza descriptiva $\sigma^2=\sum f_i(x_i-\bar x)^2/N$ y desviación típica $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$. La varianza tiene unidades al cuadrado; la desviación, las mismas que los datos. Para clases, sustituir $x_i$ por marcas y señalar que es aproximado.

Seleccionar la salida de la calculadora

Para describir este conjunto usamos divisor $N$: salida $\sigma_x$ o equivalente descriptiva. La salida $s_x$ usa corrección con $N-1$ y no es intercambiable. Una discrepancia requiere revisar frecuencias y opción seleccionada antes de atribuirla a redondeo.

Comparar con sentido

Para medias positivas de magnitudes donde tenga sentido comparar razones, $CV=\sigma/\bar x$ o $100\sigma/\bar x\%$. Con media cero no está definido y con escalas sin cero absoluto o medias negativas puede ser inadecuado. Interpretar media y dispersión conjuntamente; no se desarrolla distribución normal.

9.7 Distribuciones bidimensionales

Pares, tablas y marginales

Cada individuo aporta un par $(x,y)$; no se pueden reordenar por separado las columnas porque se perdería el emparejamiento. Una tabla de doble entrada cuenta coincidencias y las marginales suman filas o columnas. En una nube de puntos se conserva cada pareja, incluidas sus repeticiones si las hay.

Centro de gravedad y tipo de relación

El centro es $(\bar x,\bar y)$. Una relación funcional asigna una única salida a cada entrada; una asociación estadística puede presentar dispersión para la misma entrada. Una nube sugiere relación positiva, negativa, no lineal o poca relación visible; no prueba causalidad.

El trabajo manual se centra en introducir y comprobar cuatro parejas y leer el gráfico. Los cálculos repetitivos de productos y cuadrados se realizan con calculadora.

9.8 Covarianza y coeficiente de Pearson

Resultados de calculadora e interpretación

La covarianza descriptiva es $\sigma_{xy}=\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)/N$. También $\sum x_iy_i/N-\bar x\bar y$. Su signo informa del sentido de la asociación lineal; su magnitud depende de las unidades. No se pide completar tablas largas a mano. Pearson es $r=\sigma_{xy}/(\sigma_x\sigma_y)$ si ambas desviaciones son positivas, y cumple $-1\le r\le1$. $r$ positivo indica asociación ascendente; negativo, descendente. El módulo próximo a uno indica fuerte ajuste lineal. Próximo a cero indica débil asociación lineal, no necesariamente ausencia de cualquier relación.

Excepciones y causalidad

Si una columna es constante, su desviación es cero y Pearson no está definido. $r=-0{,}95$ indica mayor intensidad lineal que $r=0{,}6$: el signo no mide fiabilidad. Una correlación alta puede deberse a factores comunes; no demuestra que modificar una variable cause el cambio de la otra.

9.9 Recta de regresión y predicciones

Obtener la recta con CASIO

Elegimos regresión lineal $y=a+bx$: $a$ es término independiente, $b$ pendiente. La calculadora produce ambos a partir de parejas. Si una herramienta usa $y=mx+n$, identifica el papel de cada letra: no copies el orden sin leer el modelo. Para comprobar, $b=\sigma_{xy}/\sigma_x^2$ y $a=\bar y-b\bar x$; la recta pasa por $(\bar x,\bar y)$. Estas fórmulas explican el resultado y permiten una comprobación breve; no se exige el desarrollo manual completo.

Fiabilidad orientativa según Pearson

Cuanto más próximo esté $|r|$ a uno, mejor ajuste lineal y mayor confianza orientativa en el modelo, consideradas condiciones comparables. El signo indica dirección. No fijamos fronteras universales entre correlación fuerte y débil; una asociación alta no garantiza cada predicción ni prueba causalidad. Aquí no se desarrollan los apartados de interpolación y extrapolación.

9.11 Problemas integrados y pequeño estudio estadístico

Una investigación pequeña y defendible

En parejas, elegid una pregunta con variable no sensible, definid población y recoged u organizad una muestra anónima. Entregad tabla, representación adecuada, medidas pertinentes y conclusión con una limitación. Cada integrante explicará una decisión y comprobará un cálculo con CASIO.

Pictograma o mapa como producto

Podéis reutilizar los datos ficticios incluidos o sustituirlos por una fuente pública identificada con fecha y unidades. Conservad tabla y gráfico coherentes; no presentéis los porcentajes ficticios del mapa como estadísticas reales. Justificad por qué elegís tasa o recuento y qué no permite concluir un dato autonómico.

Comunicar con prudencia

No generalicéis a la población por el mero tamaño muestral ni convirtáis una correlación en causalidad. Distinguid dato, cálculo, interpretación y decisión. Los ejercicios cerrados tienen solución; la investigación abierta se valora por evidencias y justificación.

Uso de la calculadora

Una variable y frecuencias

En fx-991SP CW: HOME, Estadística y una variable; en fx-570SP X II: MENU, Estadística y una variable. Activa la columna de frecuencia cuando introduzcas una tabla. Escribe valores o marcas en $x$ y frecuencias en la columna correspondiente; verifica $N$ antes de leer media y desviación descriptiva. No introduzcas cada marca una sola vez si sus frecuencias son distintas.

Dos variables y regresión lineal

Elige el modelo lineal $y=a+bx$ e introduce cada par en su fila. En CW, utiliza las opciones de resultados o cálculo de regresión; en X II, las opciones de estadística y regresión. Localiza $a,b,r$; para la covarianza usa $r\sigma_x\sigma_y$ con desviaciones descriptivas. Conserva las cifras internas hasta el resultado final. Si aparece error, revisa columnas constantes y datos mal emparejados.

Explora con una hoja de cálculo

Una hoja con columnas de valores y frecuencias permite organizar sumas, porcentajes y gráficos; una tabla de comunidades debe enlazar el código o nombre correcto con su valor. Para un pictograma conserva escala de los símbolos; para un mapa, documenta límites geográficos, valores y leyenda. GeoGebra permite contrastar nube y recta; las diferencias de cuartiles se revisan según la convención declarada, no se corrigen a ciegas.

Práctica con comprobación

9.1 El estudio estadístico

9.2 Tablas de frecuencias

9.3 Representaciones gráficas

9.4 Medidas de centralización

9.5 Medidas de posición y diagramas de caja

9.6 Medidas de dispersión

9.7 Distribuciones bidimensionales

9.8 Covarianza y coeficiente de Pearson

9.9 Recta de regresión y predicciones

9.10 Calculadora y herramientas digitales

Práctica global

Razonamiento matemático

9.11 Problemas integrados y pequeño estudio estadístico

Formulario visual

Consultar esquemas del tema

Autoevaluación de 20 preguntas

Selecciona una opción en cada pregunta y justifica las que te generen dudas. La clave se trabaja con la docente.

Apuntes en PDF

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